Arkusz — grudzień 2023

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba

jest równa A)

B)

C)

D)

1 pkt – odpowiedź poprawna.

Pan Nowak kupił obligacje Skarbu Państwa za 40 000 zł oprocentowane 7% w skali roku. Odsetki są naliczane i kapitalizowane co rok. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość obligacji kupionych przez pana Nowaka będzie po dwóch latach równa A) 40 000⋅(1,07) 2 zł B) 40 000⋅(1,7) 2 zł C) 40 000⋅1,14 zł D) 40 000⋅1,49 zł 1 pkt – odpowiedź poprawna.

Właściciel sklepu kupił w hurtowni 50 par identycznych spodni po 𝑥 zł za parę i 40 identycznych marynarek po 𝑦 zł za sztukę. Za zakupy w hurtowni zapłacił 8000 zł. Po doliczeniu marży 50% na każdą parę spodni i 20% na każdą marynarkę ceny detaliczne spodni i marynarki były jednakowe. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Cenę pary spodni 𝑥 oraz cenę marynarki 𝑦, jakie trzeba zapłacić w hurtowni, można obliczyć z układu równań A)

B)

C)

D)

1 pkt – odpowiedź poprawna.

Liczby rzeczywiste 𝑥 i 𝑦 są dodatnie oraz 𝑥≠𝑦. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyrażenie

można przekształcić do postaci A)

B)

C)

D)

1 pkt – odpowiedź poprawna.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są różne, jest A) 9⋅8⋅7⋅6 B) 9⋅9⋅8⋅7 C) 10⋅9⋅8⋅7 D) 9⋅10⋅10⋅10 1 pkt – odpowiedź poprawna.

Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = − log 𝑥 dla wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich 𝑥. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość funkcji 𝑓 dla argumentu

jest równa A)

B)

C)

D)

1 pkt – odpowiedź poprawna.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦) przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐. Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji 𝑓, ma współrzędne (5,−3). Jeden z punktów przecięcia paraboli z osią 𝑂𝑥 układu współrzędnych ma współrzędne (4,0).

Zadanie 7.1. Podaj zbiór wszystkich wartości funkcji 𝒇. ......................... Zadanie 7.2. Wyznacz wzór funkcji kwadratowej 𝒇 w postaci kanonicznej .

Dana jest nierówność kwadratowa (3𝑥 − 9)(𝑥 + 𝑘) Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych Liczba 𝑘 jest równa A) (-2) B) 2 C) (-3) D) 3 1 pkt – odpowiedź poprawna.

Dana jest funkcja kwadratowa 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, gdzie 𝑎, 𝑏 i 𝑐 są liczbami rzeczywistymi takimi, że 𝑎 ≠ 0 oraz 𝑐 Dokończ zdanie tak, aby było prawdziwe. Wykres funkcji 𝑓 leży w całości A) nad osią 𝑂𝑥, B) pod osią 𝑂𝑥, ponieważ A) a b 2 − 4 ac B) a > 0 i b 2 − 4 ac C) a b 2 − 4 ac = 0. 1 pkt – odpowiedź poprawna.

Dany jest układ równań

Na którym z rysunków A–D przedstawiona jest interpretacja geometryczna tego układu równań? Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. A)

B)

C)

D)

1 pkt – odpowiedź poprawna.

Dany jest wielomian 𝑊 określony wzorem 𝑊(𝑥) = 𝑥 3 − 2𝑥 2 − 3𝑥 + 6 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wielomian 𝑊 przy rozkładzie na czynniki ma postać A) 𝑊(𝑥)=(𝑥+2)(𝑥 2 −3) B) 𝑊(𝑥)=(𝑥–2)(𝑥 2 −3) C) 𝑊(𝑥)=(𝑥+2)(𝑥 2 +3) D) 𝑊(𝑥)=(𝑥–2)(𝑥 2 +3) 1 pkt – odpowiedź poprawna.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie

w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie A) jedno rozwiązanie. B) dwa rozwiązania. C) trzy rozwiązania. D) cztery rozwiązania. 1 pkt – odpowiedź poprawna.

Dana jest nierówność

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Największą liczbą całkowitą, która spełnia tę nierówność, jest A) 6 B) 5 C) 7 D) (-6) 1 pkt – odpowiedź poprawna.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 liczba 𝟓𝒏 𝟐 + 𝟏𝟓𝒏 jest podzielna przez 𝟏𝟎.

Dany jest ciąg (𝑎 𝑛 ) określony wzorem 𝑎 𝑛 = 2𝑛 2 + 𝑛 dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Ciąg (𝑎 𝑛 ) jest malejący. A) prawda B) fałsz Ósmy wyraz ciągu (𝑎 𝑛 ) jest równy 136. A) prawda B) fałsz

Pięciowyrazowy ciąg

jest arytmetyczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczby 𝑥 oraz 𝑦 są równe A)

B)

C)

D)

1 pkt – odpowiedź poprawna.

Dany jest ciąg geometryczny (𝑎 𝑛 ), określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1. W tym ciągu 𝑎 1 = −5, 𝑎 2 = 15, 𝑎 3 = −45. Dokończ zdanie. Podaj dwie odpowiedzi tak, aby dla każdej z nich dokończenie poniższego zdania było prawdziwe. Wzór ogólny ciągu (𝑎 𝑛 ) ma postać A.

B.

C.

D.

E.

F.

Kąt 𝛼 jest ostry oraz

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wartość wyrażenia sin 𝛼 ∙ cos 𝛼 jest równa A)

B)

C)

D)

1 pkt – odpowiedź poprawna.

Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 leżą na okręgu o środku 𝑂 (zobacz rysunek). Ponadto |∡𝐴𝑂𝐶| = 130° oraz |∡𝐵𝑂𝐴| = 110°.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta wewnętrznego 𝐵𝐴𝐶 trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równa A) 60° B) 55° C) 50° D) 65° 1 pkt – odpowiedź poprawna.

Do wyznaczenia trzech boków pewnego kąpieliska w kształcie prostokąta należy użyć liny o długości 200 m. Czwarty bok tego kąpieliska będzie pokrywał się z brzegiem plaży, który w tym miejscu jest linią prostą (zobacz rysunek).

Oblicz wymiary 𝒂 i 𝒃 kąpieliska tak, aby jego powierzchnia była największa.

Dany jest kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 o boku długości 8. Z wierzchołka 𝐴 zakreślono koło o promieniu równym długości boku kwadratu (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole powierzchni części wspólnej koła i kwadratu jest równe A)

B)

C)

D)

1 pkt – odpowiedź poprawna.

Odcinki 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝑂. Ponadto |𝐴𝐷| = 4 i |𝑂𝐷| = |𝐵𝐶| = 6. Kąty 𝑂𝐷𝐴 i 𝐵𝐶𝑂 są proste (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych Długość odcinka 𝑂𝐶 jest równa A)

B)

C)

D)

1 pkt – odpowiedź poprawna.

Przekątne równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 mają długości: |𝐴𝐶| = 16 oraz |𝐵𝐷| = 12. Wierzchołki 𝐸, 𝐹, 𝐺 oraz 𝐻 rombu 𝐸𝐹𝐺𝐻 leżą na bokach równoległoboku 𝐴𝐵𝐶𝐷 (zobacz rysunek). Boki tego rombu są równoległe do przekątnych równoległoboku.

Oblicz długość boku rombu 𝑬𝑭𝑮𝑯.

Dany jest trójkąt 𝐴𝐵𝐶, w którym |𝐴𝐶 = 4, |𝐴𝐵| = 3, cos ∡𝐵𝐴𝐶 =

Oblicz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪.

Dany jest sześciokąt foremny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹 o polu równym

(zobacz rysunek).

Zadanie 25.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐸 jest równe A)

B)

C)

D)

1 pkt – odpowiedź poprawna. Zadanie 25.2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość odcinka 𝐴𝐸 jest równa A)

B)

C)

D)

1 pkt – odpowiedź poprawna.

Dany jest trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷, w którym 𝐴𝐵||𝐶𝐷 oraz przekątne 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 przecinają się w punkcie 𝑂 (zobacz rysunek). Wysokość tego trapezu jest równa 12. Obwód trójkąta 𝐴𝐵𝑂 jest równy 39, a obwód trójkąta 𝐶𝐷𝑂 jest równy 13.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wysokość trójkąta 𝐴𝐵𝑂 poprowadzona z punktu 𝑂 jest równa A) 3 B) 4 C) 9 D) 6 1 pkt – odpowiedź poprawna.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦), dany jest okrąg 𝒪 o równaniu (𝑥 − 3) 2 + (𝑦 − 3) 2 = 13 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Okrąg 𝒪 przecina oś 𝑂𝑦 w punktach o współrzędnych A) (0,1) i (0,5). B) (0,1) i (0,−5). C) (1,0) i (5,0). D) (0,−1) i (0,5). 1 pkt – odpowiedź poprawna.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦), dane są proste 𝑘 oraz 𝑙 o równaniach

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Proste 𝑘 oraz 𝑙 A) nie mają punktów wspólnych. B) są prostopadłe. C) przecinają się w punkcie 𝑃 = (0,−1). D) się pokrywają. 1 pkt – odpowiedź poprawna.

Na płaszczyźnie, w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥,𝑦), dane są punkty 𝐴 = (1,2) i 𝐵 = (2𝑚,𝑚), gdzie 𝑚 jest liczbą rzeczywistą, oraz prosta 𝑘 o równaniu 𝑦 = −𝑥 −1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta przechodząca przez punkty 𝐴 i 𝐵 jest równoległa do prostej 𝑘, gdy A) 𝑚 = −1 B) 𝑚 = 1 C) m = 1 ⁄ 2 D) 𝑚 = 2 1 pkt – odpowiedź poprawna.

Dany jest sześcian 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 o krawędzi długości 9. Wierzchołki podstawy 𝐴𝐵𝐶𝐷 sześcianu połączono odcinkami z punktem 𝑊, który jest punktem przecięcia przekątnych podstawy 𝐸𝐹𝐺𝐻. Otrzymano w ten sposób ostrosłup prawidłowy czworokątny 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑊 (zobacz rysunek).

Zadanie 30.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Objętość 𝑉 ostrosłupa 𝐴𝐵𝐶𝐷𝑊 jest równa A) 243 B) 364,5 C) 489 D) 729 1 pkt – odpowiedź poprawna. Zadanie 30.2. Oblicz cosinus kąta nachylenia krawędzi bocznej ostrosłupa do płaszczyzny podstawy.

Dany jest sześcian ℱ o krawędzi długości 𝑎 i objętości 𝑉 oraz sześcian 𝒢 o krawędzi długości 3𝑎. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Objętość sześcianu 𝒢 jest równa A) 3𝑉 B) 9𝑉 C) 18𝑉 D) 27𝑉 1 pkt – odpowiedź poprawna.

Na loterii stosunek liczby losów wygrywających do liczby losów przegrywających jest równy 2∶7. Zakupiono jeden los z tej loterii. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że zakupiony los jest wygrywający, jest równe A) 1 ⁄ 9 B) 1 ⁄ 2 C) 2 ⁄ 9 D) 2 ⁄ 7 1 pkt – odpowiedź poprawna.

W eksperymencie badano kiełkowanie nasion w pięciu donicach. Na koniec eksperymentu policzono wykiełkowane nasiona w każdej z donic: • w I donicy – 133 nasiona • w II donicy – 140 nasion • w III donicy – 119 nasion • w IV donicy – 147 nasion • w V donicy – 161 nasion. Odchylenie standardowe liczby wykiełkowanych nasion jest równe 𝜎 = 14. Podaj numery donic, w których liczba wykiełkowanych nasion mieści się w przedziale określonym przez jedno odchylenie standardowe od średniej. <ul class="