Arkusz — maj 2023

Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności A) |𝑥 − 3,5| ≥ 1,5 B) |𝑥 − 1,5| ≥ 3,5 C) |𝑥 − 3,5| ≤ 1,5 D) |𝑥 − 1,5| ≤ 3,5

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba

jest równa A) (- 3 ⁄ 2 ) B) 3 ⁄ 2 C) 2 ⁄ 3 D) ( - 2 ⁄ 3 ) Zasady oceniania 1 pkt – odpowiedź poprawna. 0 pkt – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej 𝒏 ≥ 𝟏 liczba (𝟐𝒏 + 𝟏) 𝟐 − 𝟏 jest podzielna przez 𝟖.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba log 9 27 + log 9 3 jest równa A) 81 B) 9 C) 4 D) 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 wyrażenie (2𝑎 − 3) 2 − (2𝑎 + 3) 2 jest równe A) −24𝑎 B) 0 C) 18 D) 16𝑎 2 − 24𝑎

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

jest przedział A) (−∞ , −4] B) (−∞ , 4] C) [−4 , ∞) D) [4 , ∞)

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Jednym z rozwiązań równania √ 3 (𝑥 2 − 2)(𝑥 + 3) = 0 jest liczba A) 3 B) 2 C) √ 3 D) √ 2

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Równanie

w zbiorze liczb rzeczywistych A) nie ma rozwiązania. B) ma dokładnie jedno rozwiązanie: −1. C) ma dokładnie jedno rozwiązanie: 1. D) ma dokładnie dwa rozwiązania: −1 oraz 1.

Rozwiąż równanie 𝟑𝒙 𝟑 − 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 + 𝟖 = 𝟎

Na rysunku przedstawiono interpretację geometryczną w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥 , 𝑦) jednego z niżej zapisanych układów równań A – D.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest A)

B)

C)

D)

Dany jest prostokąt o bokach długości 𝑎 i 𝑏, gdzie 𝑎 > 𝑏. Obwód tego prostokąta jest równy 30. Jeden z boków prostokąta jest o 5 krótszy od drugiego. Uzupełnij zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród oznaczonych literami A–F i podaj te litery w wykropkowanych miejscach. Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układach równań oznaczonych literami: ……… oraz ……… . A)

B)

C)

D)

E)

F)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥 , 𝑦) narysowano wykres funkcji 𝑦 = 𝑓(𝑥) (zobacz rysunek).

Zadanie 12.1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dziedziną funkcji 𝑓 jest zbiór A) [−6 , 5] B) (−6 , 5) C) (−3 , 5] D) [−3 , 5] Zadanie 12.2. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Największa wartość funkcji 𝑓 w przedziale [−4 , 1] jest równa A) 0 B) 1 C) 2 D) 5 Zadanie 12.3. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Funkcja 𝑓 jest malejąca w zbiorze A) [−6 , −3) B) [−3 , 1] C) (1 , 2] D) [2 , 5]

Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, gdzie 𝑎 i 𝑏 są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji 𝑓 w kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥 , 𝑦).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba 𝑎 oraz liczba 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓 spełniają warunki: A) 𝑎 > 0 i 𝑏 > 0. B) 𝑎 > 0 i 𝑏 C) 𝑎 0. D) 𝑎

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej 𝑓 jest liczba (−5). Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji 𝑓, jest równa 3. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Drugim miejscem zerowym funkcji 𝑓 jest liczba A) 11 B) 1 C) (−1) D) (−13)

Ciąg (𝑎 𝑛 ) jest określony wzorem 𝑎 𝑛 = 2 𝑛 ⋅ (𝑛 + 1) dla każdej liczby naturalnej 𝑛 ≥ 1. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wyraz 𝑎 4 jest równy A) 64 B) 40 C) 48 D) 80

Trzywyrazowy ciąg (27 , 9 , 𝑎 − 1) jest geometryczny. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Liczba 𝑎 jest równa A) 3 B) 0 C) 4 D) 2

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę pierwszej raty.

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥 , 𝑦) zaznaczono kąt 𝛼 o wierzchołku w punkcie 𝑂 = (0 , 0). Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią 𝑂𝑥, a drugie przechodzi przez punkt 𝑃 = (−3 , 1) (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Tangens kąta 𝛼 jest równy A) 1 ⁄ √ 10 B) (− 3 ⁄ √ 10 ) C) ( − 3 ⁄ 1 ) D) ( − 1 ⁄ 3 )

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Dla każdego kąta ostrego 𝛼 wyrażenie sin 4 𝛼 + sin 2 𝛼 ⋅cos 2 𝛼 jest równe A) sin 2 𝛼 B) sin 6 𝛼 ⋅ cos 2 𝛼 C) sin 4 𝛼 + 1 D) sin 2 𝛼 ⋅ (sin𝛼 + cos𝛼) ⋅ (sin𝛼 − cos𝛼)

W rombie o boku długości 6√ 2 kąt rozwarty ma miarę 150°. Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy A) 24 B) 72 C) 36 D) 36√ 2

Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Kąt 𝐴𝐶𝑂 ma miarę 70° (zobacz rysunek).

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Miara kąta ostrego 𝐴𝐵𝐶 jest równa A) 10° B) 20° C) 35° D) 40°

Trójkąty prostokątne 𝑇 1 i 𝑇 2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta 𝑇 1 mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta 𝑇 2 ma długość 26. Oblicz pole trójkąta 𝑻 𝟐 .

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥 , 𝑦) dane są proste 𝑘 oraz 𝑙 o równaniach 𝑘: 𝑦 = 2 ⁄ 3 𝑥 𝑙: 𝑦 = − 3 ⁄ 2 𝑥 + 13 Dokończ zdanie tak aby było prawdziwe. Proste 𝑘 oraz 𝑙 A) są prostopadłe B) nie są prostopadłe i przecinają się w punkcie 𝑃 o współrzędnych A) (−6 , −4) B) (6 , 4) C) (−6 , 4)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (𝑥 , 𝑦) dana jest prosta 𝑘 o równaniu 𝑦 = − 1 ⁄ 3 𝑥 + 2 Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Prosta o równaniu 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 jest równoległa do prostej 𝑘 i przechodzi przez punkt 𝑃 = (3 , 5), gdy A) 𝑎 = 3 i 𝑏 = 4. B) 𝑎 = − 1 ⁄ 3 i 𝑏 = 4. C) 𝑎 = 3 i 𝑏 = −4. D) 𝑎 = − 1 ⁄ 3 i 𝑏 = 6.

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 𝛼 takim, że cos𝛼 = √ 2 ⁄ 3 . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa A) 15√ 2 B) 45 C) 5√ 2 D) 10

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30° i ma długość równą 6 (zobacz rysunek).

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby 𝑊 wszystkich wierzchołków do liczby 𝐾 wszystkich krawędzi jest równy W ⁄ K = 3 ⁄ 5 . Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Podstawą tego ostrosłupa jest A) kwadrat. B) pięciokąt foremny. C) sześciokąt foremny. D) siedmiokąt foremny.

Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych. Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 5, 7 (np. 57 075, 55 555), jest A) 5 3 B) 2 ⋅ 4 3 C) 2 ⋅ 3 4 D) 3 5

Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.

Wybierz właściwą odpowiedź, wybraną spośród oznaczonych literami A–E. Zadanie 29.1. Mediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa A) 5,80 zł B) 5,73 zł C) 5,85 zł D) 6,00 zł E) 5,70 zł Zadanie 29.2. Średnia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa A) 5,80 zł B) 5,73 zł C) 5,85 zł D) 6,00 zł E) 5,70 zł

Ze zbioru ośmiu liczb {2,3,4,5,6,7,8,9} losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝑨 polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 𝟏𝟓.

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę 𝐿 obsługiwanych klientów 𝑛-tego dnia opisuje funkcja 𝐿(𝑛) = −𝑛 2 + 22𝑛 + 279 gdzie 𝑛 jest liczbą naturalną spełniającą warunki 𝑛 ≥ 1 i 𝑛 ≤ 30. Zadanie 31.1. Oceń prawdziwość poniższych stwierdzeń. Wybierz P, jeśli stwierdzenie jest prawdziwe, albo F – jeśli jest fałszywe. Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa 𝐿(30). A) prawda B) fałsz W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono 336 klientów. A) prawda B) fałsz Zadanie 31.2. Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia. <ul class="