Proporcje i skala

Zadania dotyczące proporcji i skali pojawiają się na egzaminie ósmoklasisty regularnie, często w formie zadań tekstowych lub jako elementy zadań bardziej złożonych, np. geometrycznych. Zazwyczaj można za nie zdobyć od 1 do 4 punktów. Egzaminatorzy lubią sprawdzać umiejętność wyciągania wniosków z treści zadań, zamiany jednostek i poprawnego stosowania definicji skali.

Zrozumienie pojęcia proporcji i jej zastosowań.
Rozwiązywanie prostych proporcji z jedną niewiadomą.
Rozwiązywanie proporcji odwrotnych.
Zastosowanie proporcji do zadań tekstowych (np. podział kwoty, przepisy kulinarne).
Definicja skali i jej rodzaje (liczbowy, podziałki).
Obliczanie odległości na mapie i w rzeczywistości przy użyciu skali.
Obliczanie skali na podstawie danych.
Zamiana jednostek długości przy pracy ze skalą.

Proporcja to równość dwóch stosunków (ilorazów). Jeśli mamy liczby $a, b, c, d$ , to proporcja ma postać: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ gdzie $b \neq 0$ i $d \neq 0$ . Liczby $a$ i $d$ to wyrazy skrajne, a liczby $b$ i $c$ to wyrazy średnie.
Własność proporcji (iloczyn wyrazów skrajnych równy iloczynowi wyrazów średnich): Dla proporcji $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ zachodzi równość: $a \cdot d = b \cdot c$ Jest to podstawowa metoda rozwiązywania proporcji z jedną niewiadomą.
Proporcjonalność prosta: Dwie wielkości są proporcjonalne prosto, gdy zwiększenie (lub zmniejszenie) jednej wielkości powoduje takie samo zwiększenie (lub zmniejszenie) drugiej wielkości. Jeśli $y$ jest proporcjonalne prosto do $x$ , to $y = ax$ , gdzie $a$ jest stałą proporcjonalności. Zależność tę można zapisać jako proporcję: $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$ .
Proporcjonalność odwrotna: Dwie wielkości są proporcjonalne odwrotnie, gdy zwiększenie jednej wielkości powoduje takie samo zmniejszenie drugiej wielkości (i odwrotnie). Jeśli $y$ jest proporcjonalne odwrotnie do $x$ , to $y = \frac{a}{x}$ , gdzie $a$ jest stałą proporcjonalności. Zależność tę można zapisać jako proporcję: $x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$ .
Skala: Określa stosunek odległości na mapie, planie lub rysunku do odległości w rzeczywistości. Skala liczbowa: $\text{Skala} = \frac{\text{odległość na mapie}}{\text{odległość w rzeczywistości}}$ $Skala = \frac{odleg ł o s ˊ c ˊ na mapie}{odleg ł o s ˊ c ˊ w rzeczywisto s ˊ ci}$ Często podawana w postaci $1:k$ $1 : k$ , co oznacza, że 1 jednostka na mapie odpowiada $k$ $k$ jednostkom w rzeczywistości. Pamiętaj o spójności jednostek lub o ich zamianie. Jeśli skala jest $1:k$ $1 : k$ , to:
- odległość w rzeczywistości = $k \cdot$ odległość na mapie
- odległość na mapie = $\frac{\text{odległość w rzeczywistości}}{k}$
Podstawowe jednostki długości i ich zamiana: 1 km = 1000 m 1 m = 100 cm 1 km = 100 000 cm

Rozwiąż proporcję: $\frac{3}{5} = \frac{x}{10}$

Krok 1. Zidentyfikuj wyrazy skrajne i średnie. Wyrazy skrajne to 3 i 10. Wyrazy średnie to 5 i $x$ .

Krok 2. Zastosuj własność proporcji: iloczyn wyrazów skrajnych równa się iloczynowi wyrazów średnich. $3 \cdot 10 = 5 \cdot x$

Krok 3. Oblicz iloczyn wyrazów skrajnych. $30 = 5x$

Krok 4. Wyznacz $x$ , dzieląc obie strony równania przez współczynnik przy $x$ (czyli przez 5). $x = \frac{30}{5}$

Krok 5. Oblicz wynik. $x = 6$

Sprawdzenie: Podstawiamy $x=6$ do pierwotnej proporcji: $\frac{3}{5} = \frac{6}{10}$ Ułamek $\frac{6}{10}$ po skróceniu przez 2 daje $\frac{3}{5}$ , więc równość jest prawdziwa. Rozwiązanie jest poprawne.

Na planie miasta wykonanym w skali $1:5000$ odległość między dwoma parkami wynosi 12 cm. Jaka jest rzeczywista odległość między tymi parkami w kilometrach?

Krok 1. Zapisz dane i zrozum problem. Skala planu: $1:5000$ . Odległość na planie: 12 cm. Szukana odległość w rzeczywistości (w km).

Krok 2. Zastosuj definicję skali. Skala $1:5000$ oznacza, że 1 cm na planie odpowiada 5000 cm w rzeczywistości. Chcemy obliczyć rzeczywistą odległość, więc mnożymy odległość na planie przez liczbę stojącą po prawej stronie skali. $\text{Odległość w rzeczywistości (w cm)} = 12 \text{ cm} \cdot 5000$

Krok 3. Oblicz rzeczywistą odległość w centymetrach. $12 \cdot 5000 = 60000 \text{ cm}$

Krok 4. Zamień jednostki, aby uzyskać wynik w kilometrach. Wiemy, że 1 km = 100 000 cm. Aby zamienić centymetry na kilometry, musimy podzielić przez 100 000. $\text{Odległość w rzeczywistości (w km)} = \frac{60000 \text{ cm}}{100000 \frac{\text{cm}}{\text{km}}}$

Krok 5. Oblicz wynik końcowy. $\frac{60000}{100000} = \frac{6}{10} = 0.6 \text{ km}$

Odpowiedź: Rzeczywista odległość między parkami wynosi 0.6 km.

Trzech robotników wykonało pewną pracę w ciągu 12 dni. Ilu robotników potrzeba, aby wykonać tę samą pracę w ciągu 9 dni, zakładając, że wszyscy pracują w tym samym tempie?

Krok 1. Zidentyfikuj wielkości i rodzaj ich zależności. Mamy dwie wielkości: liczbę robotników i czas potrzebny na wykonanie pracy. Jeśli zwiększymy liczbę robotników, czas potrzebny na wykonanie tej samej pracy się skróci. Jest to zależność odwrotna.

Krok 2. Zapisz dane. Liczba robotników (pierwszy przypadek): $r_1 = 3$ . Czas (pierwszy przypadek): $t_1 = 12$ dni. Czas (drugi przypadek): $t_2 = 9$ dni. Szukana liczba robotników (drugi przypadek): $r_2$ .

Krok 3. Zastosuj wzór na proporcjonalność odwrotną. $r_1 \cdot t_1 = r_2 \cdot t_2$

Krok 4. Podstaw dane do wzoru. $3 \cdot 12 = r_2 \cdot 9$

Krok 5. Rozwiąż równanie, aby wyznaczyć $r_2$ . $36 = 9 r_2$ $r_2 = \frac{36}{9}$ $r_2 = 4$

Odpowiedź: Potrzeba 4 robotników, aby wykonać pracę w 9 dni.

Niewłaściwa zamiana jednostek: Najczęstszy błąd przy zadaniach ze skalą. Zawsze upewnij się, że jednostki odległości na mapie i w rzeczywistości są takie same przed obliczeniem lub zamień je poprawnie na końcu. Pamiętaj: 1 km = 1000 m = 100 000 cm.
Mylenie proporcjonalności prostej i odwrotnej: W zadaniach tekstowych, np. o pracy czy prędkości, łatwo pomylić te zależności. Zastanów się: czy więcej pracowników to mniej czasu (odwrotna), czy więcej kilometrów to więcej czasu przy tej samej prędkości (prosta)?
Błędne stosowanie wzoru proporcji: Niepoprawne przyporządkowanie wyrazów skrajnych i średnich lub zastosowanie wzoru na proporcjonalność prostą do sytuacji odwrotnej. Zapisz sobie proporcję i wyraźnie zaznacz, co jest czym.
Zaokrąglanie wyników przedwcześnie: Jeśli zadanie nie wymaga zaokrąglenia, zostaw wynik dokładny. Jeśli jednak wynik wychodzi ułamkiem dziesiętnym, który się nie kończy, a zadanie dopuszcza przybliżenie, sprawdź polecenie, czy nie ma podanych wytycznych co do zaokrąglenia.
Nieczytelne zapisy: Rozwiązując zadania na czas, czasem piszesz bardzo szybko i nieczytelnie. Na egzaminie nauczyciel nie odgadnie Twoich intencji. Dbaj o porządek.

Rozwiąż proporcję: $\frac{x}{7} = \frac{15}{35}$ .
Dwie beczki zawierają razem 56 litrów soku. Pierwsza beczka ma o 8 litrów soku więcej niż druga. Ile litrów soku jest w każdej beczce?
Aby przygotować porcję ciasta dla 6 osób, potrzebujemy 200 g mąki. Ile mąki potrzebujemy na ciasto dla 9 osób?
Samochód poruszał się ze stałą prędkością i przejechał 240 km w ciągu 3 godzin. Jaka będzie odległość pokonana przez ten samochód w ciągu 5 godzin przy tej samej prędkości?
Na mapie w skali $1:20000$ odległość między dwoma miastami wynosi 8 cm. Oblicz rzeczywistą odległość między tymi miastami w kilometrach.
Grupa 5 turystów potrzebuje 4 dni, aby przejść szlak turystyczny. Ile dni potrzebuje grupa 4 turystów na przejście tego samego szlaku, zakładając, że tempo marszu każdego turysty jest takie samo?
Rysunek techniczny wykonano w skali $1:5$ . Długość elementu na rysunku wynosi 20 cm. Jaka jest rzeczywista długość tego elementu w metrach?

$x=3$ .
W pierwszej beczce jest 32 litry, w drugiej 24 litry.
Potrzeba 300 g mąki.
Samochód przejedzie 400 km.
Rzeczywista odległość wynosi 1.6 km.
Grupa 4 turystów potrzebuje 5 dni.
Rzeczywista długość elementu wynosi 1 metr.

Jakie są dwa rodzaje zależności między wielkościami, które możemy opisać za pomocą proporcji?
Podaj wzór na własność proporcji $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ .
Co oznacza skala $1:10000$ ?
Jeśli odległość na mapie jest mniejsza niż w rzeczywistości, to skala jest większa czy mniejsza od 1?
Jakie są podstawowe jednostki długości i jak się przeliczają?

     Skala 1:k
       /      \
      /        \
     /          \
    /            \
 MAPA ------- RZECZYWISTOŚĆ
  |               |
  | *k            | /k
  V               V
 ODLEGŁOŚĆ       ODLEGŁOŚĆ
NA MAPIE     W RZECZYWISTOŚCI

Zrozumienie pojęcia proporcji i jej zastosowań.
Rozwiązywanie prostych proporcji z jedną niewiadomą.
Rozwiązywanie proporcji odwrotnych.
Zastosowanie proporcji do zadań tekstowych (np. podział kwoty, przepisy kulinarne).
Definicja skali i jej rodzaje (liczbowy, podziałki).
Obliczanie odległości na mapie i w rzeczywistości przy użyciu skali.
Obliczanie skali na podstawie danych.
Zamiana jednostek długości przy pracy ze skalą.

Proporcja to równość dwóch stosunków (ilorazów). Jeśli mamy liczby $a, b, c, d$ , to proporcja ma postać: $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ gdzie $b \neq 0$ i $d \neq 0$ . Liczby $a$ i $d$ to wyrazy skrajne, a liczby $b$ i $c$ to wyrazy średnie.
Własność proporcji (iloczyn wyrazów skrajnych równy iloczynowi wyrazów średnich): Dla proporcji $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$ zachodzi równość: $a \cdot d = b \cdot c$ Jest to podstawowa metoda rozwiązywania proporcji z jedną niewiadomą.
Proporcjonalność prosta: Dwie wielkości są proporcjonalne prosto, gdy zwiększenie (lub zmniejszenie) jednej wielkości powoduje takie samo zwiększenie (lub zmniejszenie) drugiej wielkości. Jeśli $y$ jest proporcjonalne prosto do $x$ , to $y = ax$ , gdzie $a$ jest stałą proporcjonalności. Zależność tę można zapisać jako proporcję: $\frac{y_1}{x_1} = \frac{y_2}{x_2}$ .
Proporcjonalność odwrotna: Dwie wielkości są proporcjonalne odwrotnie, gdy zwiększenie jednej wielkości powoduje takie samo zmniejszenie drugiej wielkości (i odwrotnie). Jeśli $y$ jest proporcjonalne odwrotnie do $x$ , to $y = \frac{a}{x}$ , gdzie $a$ jest stałą proporcjonalności. Zależność tę można zapisać jako proporcję: $x_1 \cdot y_1 = x_2 \cdot y_2$ .
Skala: Określa stosunek odległości na mapie, planie lub rysunku do odległości w rzeczywistości. Skala liczbowa: $\text{Skala} = \frac{\text{odległość na mapie}}{\text{odległość w rzeczywistości}}$ $Skala = \frac{odleg ł o s ˊ c ˊ na mapie}{odleg ł o s ˊ c ˊ w rzeczywisto s ˊ ci}$ Często podawana w postaci $1:k$ $1 : k$ , co oznacza, że 1 jednostka na mapie odpowiada $k$ $k$ jednostkom w rzeczywistości. Pamiętaj o spójności jednostek lub o ich zamianie. Jeśli skala jest $1:k$ $1 : k$ , to:
- odległość w rzeczywistości = $k \cdot$ odległość na mapie
- odległość na mapie = $\frac{\text{odległość w rzeczywistości}}{k}$
Podstawowe jednostki długości i ich zamiana: 1 km = 1000 m 1 m = 100 cm 1 km = 100 000 cm