Pola figur

Zadania dotyczące pól figur płaskich pojawiają się na egzaminie ósmoklasisty co roku, zazwyczaj w zadaniach otwartych lub jako część zadań zamkniętych. Mogą one dotyczyć obliczania pola jednej figury, lub złożonych figur składających się z kilku prostszych figur. Poprawne stosowanie wzorów i umiejętność dzielenia skomplikowanych kształtów na prostsze elementy są kluczowe. Zadania te są warte od 2 do nawet 4 punktów.

Po przerobieniu tej lekcji będziesz potrafił:

Obliczyć pole prostokąta, kwadratu, trójkąta, rombu i trapezu, stosując odpowiednie wzory.
Rozpoznawać i obliczać pola figur złożonych, składających się z prostokątów, kwadratów, trójkątów, rombów i trapezów.
Wykorzystywać własności figur geometrycznych (np. przekątne w rombie, wysokość w trójkącie) do obliczeń pól.
Znajdować brakujące wymiary figury (np. bok, wysokość) na podstawie jej pola i innych danych.
Dokonywać zamian jednostek pola (np. z cm $^2$ na m $^2$ ).
Zastosować wiedzę o polach figur w zadaniach tekstowych.
Obliczyć pole koła i jego wycinka.

Prostokąt: Czworokąt o czterech kątach prostych.
- Wzór na pole: $P = a \cdot b$ , gdzie $a$ i $b$ to długości boków prostokąta.
- $a$ - długość, $b$ - szerokość.
Kwadrat: Czworokąt o czterech bokach równej długości i czterech kątach prostych. Jest szczególnym przypadkiem prostokąta.
- Wzór na pole: $P = a^2$ , gdzie $a$ to długość boku kwadratu.
Trójkąt: Wielokąt o trzech bokach.
- Wzór na pole: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ , gdzie $a$ to długość jednego boku, a $h_a$ to wysokość opuszczona na ten bok.
- Można użyć dowolnego boku jako podstawy i odpowiadającej mu wysokości.
Romb: Czworokąt, którego wszystkie boki mają równe długości. Przekątne rombu są prostopadłe i przecinają się w połowie.
- Wzór na pole (przez boki i kąt): $P = a^2 \cdot \sin(\alpha)$ , gdzie $a$ to długość boku, a $\alpha$ to kąt między bokami. (Ten wzór jest rzadziej używany na egzaminie ósmoklasisty).
- Wzór na pole (przez przekątne): $P = \frac{1}{2} \cdot p \cdot q$ , gdzie $p$ i $q$ to długości przekątnych rombu. Jest to podstawowy wzór na egzaminie.
Trapez: Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe to podstawy trapezu.
- Wzór na pole: $P = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$ , gdzie $a$ i $b$ to długości podstaw, a $h$ to wysokość trapezu (odległość między podstawami).
Koło: Zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, których odległość od ustalonego punktu (środka) jest nie większa niż promień.
- Wzór na pole: $P = \pi r^2$ , gdzie $r$ to promień koła. $\pi$ (pi) to stała matematyczna, w przybliżeniu 3,14.
Wycinek koła: Część koła ograniczona dwoma promieniami i łukiem.
- Pole wycinka o kącie środkowym $\alpha$ (w stopniach): $P_{wycinka} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$ .
Zamiana jednostek pola:
- $1 \text{ m} = 100 \text{ cm} \implies 1 \text{ m}^2 = (100 \text{ cm})^2 = 10000 \text{ cm}^2$
- $1 \text{ km} = 1000 \text{ m} \implies 1 \text{ km}^2 = 1000000 \text{ m}^2$
- $1 \text{ ar (a)} = 100 \text{ m}^2$
- $1 \text{ hektar (ha)} = 100 \text{ arów} = 10000 \text{ m}^2$ .

Oblicz pole prostokąta o bokach długości 5 cm i 8 cm. Krok 1. Zidentyfikuj figurę i dane. Figurą jest prostokąt. Długości boków wynoszą $a = 5$ cm i $b = 8$ cm. Krok 2. Wybierz odpowiedni wzór na pole prostokąta. Wzór na pole prostokąta to $P = a \cdot b$ . Krok 3. Podstaw dane do wzoru. $P = 5 \text{ cm} \cdot 8 \text{ cm}$ Krok 4. Oblicz wynik. $P = 40 \text{ cm}^2$ . Krok 5. Zapisz odpowiedź z jednostką. Pole prostokąta wynosi 40 cm $^2$ .

Sprawdzenie: Wzór zastosowany poprawnie, obliczenia wykonane zgodnie ze wzorem. Jednostka pola jest poprawna.

Działka w kształcie trapezu równoramiennego ma podstawy o długościach 12 m i 20 m. Wysokość działki wynosi 8 m. Oblicz pole tej działki. Krok 1. Zidentyfikuj figurę i dane. Figurą jest trapez. Długości podstaw to $a = 12$ m, $b = 20$ m. Wysokość to $h = 8$ m. Krok 2. Wybierz odpowiedni wzór na pole trapezu. Wzór na pole trapezu to $P = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$ . Krok 3. Podstaw dane do wzoru. $P = \frac{1}{2} \cdot (12 \text{ m} + 20 \text{ m}) \cdot 8 \text{ m}$ Krok 4. Wykonaj dodawanie w nawiasie. $P = \frac{1}{2} \cdot (32 \text{ m}) \cdot 8 \text{ m}$ Krok 5. Wykonaj mnożenie. $P = 16 \text{ m} \cdot 8 \text{ m} = 128 \text{ m}^2$ . Krok 6. Zapisz odpowiedź z jednostką. Pole działki wynosi 128 m $^2$ .

Sprawdzenie: Wzór zastosowany poprawnie, wszystkie dane podstawione. Obliczenia wykonane poprawnie. Jednostka pola jest odpowiednia dla danych wejściowych.

Oblicz pole rombu, którego przekątne mają długości 10 cm i 6 cm. Krok 1. Zidentyfikuj figurę i dane. Figurą jest romb. Długości przekątnych to $p = 10$ cm i $q = 6$ cm. Krok 2. Wybierz wzór na pole rombu. Wzór na pole rombu przez przekątne to $P = \frac{1}{2} \cdot p \cdot q$ . Krok 3. Podstaw dane do wzoru. $P = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ cm} \cdot 6 \text{ cm}$ Krok 4. Wykonaj mnożenie. $P = \frac{1}{2} \cdot 60 \text{ cm}^2$ Krok 5. Oblicz wynik. $P = 30 \text{ cm}^2$ . Krok 6. Zapisz odpowiedź. Pole rombu wynosi 30 cm $^2$ .

Sprawdzenie: Wzór na pole rombu przez przekątne zastosowany poprawnie. Obliczenia są poprawne.

Mylenie wzorów: Uczniowie często mylą wzory na pole np. trapezu z polem równoległoboku, lub stosują wzór na pole rombu przez boki zamiast przez przekątne. Zawsze dokładnie sprawdzaj, z jaką figurą masz do czynienia i jaki jest jej opis (długości boków, przekątnych, wysokość itp.).
Niewłaściwe jednostki: W zadaniach pojawiają się różne jednostki (np. metry i centymetry). Pamiętaj o zamianie jednostek przed wykonaniem obliczeń lub o poprawnej zamianie jednostki pola na końcu. Najbezpieczniej jest zamienić wszystkie jednostki na jedną, spójną przed rozpoczęciem liczenia.
Błędy w obliczeniach: Pośpiech prowadzi do błędów rachunkowych, zwłaszcza przy ułamkach (jak $\frac{1}{2}$ ) i mnożeniu. Sprawdzaj swoje obliczenia, a jeśli to możliwe, wykonuj je krok po kroku.
Figury złożone: Przy figurach złożonych kluczowe jest poprawne podzielenie ich na prostsze figury składowe (prostokąty, trójkąty itp.). Czasem trzeba dodać pola prostych figur, a czasem odjąć pole mniejszej figury od pola większej. Rysunek pomocniczy jest tu bardzo ważny.
Wysokość w trójkącie/trapezie: Upewnij się, że używasz właściwej wysokości – prostopadłej do podstawy. W trójkątach z kątem rozwartym wysokość może "padać" na zewnątrz figury.

Oblicz pole kwadratu o boku długości 7 cm.
Oblicz pole trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długości 6 cm i 9 cm.
Oblicz pole trapezu, którego podstawy mają długości 15 cm i 25 cm, a wysokość wynosi 10 cm.
Działka w kształcie koła ma promień 10 m. Oblicz jej pole, przyjmując $\pi \approx 3.14$ .
Oblicz pole figury przedstawionej na rysunku. Figurę tę można podzielić na prostokąt i kwadrat. Dłuższy bok prostokąta to 10 cm, krótszy bok to 5 cm. Bok kwadratu wynosi 3 cm.
```
+---------+
|         | 5 cm
+---+-----+
    | 3 cm
    +---+
```
(Rysunek: prostokąt 10x5 cm, do którego od dołu, na środku jednego z 10-cm boków, doklejony jest kwadrat o boku 3 cm. Górna część prostokąta ma 5 cm wysokości, a dolna część prostokąta (razem z kwadratem) ma 8 cm wysokości, z czego 3 cm to kwadrat.)
Pole pewnego rombu wynosi 72 cm $^2$ . Jedna z jego przekątnych ma długość 12 cm. Oblicz długość drugiej przekątnej.
Oblicz pole wycinka koła o promieniu 6 cm, jeśli kąt środkowy tego wycinka wynosi $60^\circ$ . Przyjmij $\pi \approx 3.14$ .

$P = 7^2 = 49$ cm $^2$ .
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są jednocześnie wysokościami opuszczonymi na siebie nawzajem. $P = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 27$ cm $^2$ .
$P = \frac{1}{2} \cdot (15 \text{ cm} + 25 \text{ cm}) \cdot 10 \text{ cm} = \frac{1}{2} \cdot 40 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 200$ cm $^2$ .
$P = \pi r^2 = 3.14 \cdot (10 \text{ m})^2 = 3.14 \cdot 100 \text{ m}^2 = 314$ m $^2$ .
Figura składa się z prostokąta o bokach 10 cm i 5 cm (pole $10 \cdot 5 = 50$ cm $^2$ ) oraz z kwadratu o boku 3 cm (pole $3^2 = 9$ cm $^2$ ). Całkowite pole to suma pól: $50 + 9 = 59$ cm $^2$ .
Używamy wzoru $P = \frac{1}{2} p \cdot q$ . $72 \text{ cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ cm} \cdot q$ . $72 \text{ cm}^2 = 6 \text{ cm} \cdot q$ . $q = \frac{72 \text{ cm}^2}{6 \text{ cm}} = 12$ cm. Druga przekątna ma 12 cm.
$P_{wycinka} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{6} \cdot 3.14 \cdot (6 \text{ cm})^2 = \frac{1}{6} \cdot 3.14 \cdot 36 \text{ cm}^2 = 3.14 \cdot 6 \text{ cm}^2 = 18.84$ cm $^2$ .

Jaki wzór na pole prostokąta jest najbardziej podstawowy?
Jak obliczyć pole trójkąta, jeśli znamy jego podstawę i wysokość?
Podaj wzór na pole rombu, gdy znamy jego przekątne.
Jakie są długości podstaw trapezu w podstawowym wzorze na jego pole?
Czy pole koła zależy od jego średnicy czy promienia?

          b
+-----------------+
|                 |
|                 | a
|                 |
+-----------------+
       a  - długość
       b  - szerokość
Pole = a * b

      a
+---------+
| \       |
|  \      | h
|   \     |
+----\----+
      a - podstawa
      h - wysokość
Pole = 0.5 * a * h

       / \
      /   \
     /     \  h
    /_______\
       a

   a - podstawa
   h - wysokość
Pole = 0.5 * a * h

      p
   /-----\
  /       \
 /         \
/-----------\ q
Pole rombu = 0.5 * p * q

       a
+--------------+
|             /|
|            / |
|           /  | h
|          /   |
+---------/----+
     b
   a, b - podstawy
   h - wysokość
Pole trapezu = 0.5 * (a + b) * h

      *****
    *       *
  *           * r
*               *
 *             *
  *           *
    *       *
      *****
 Pole koła = pi * r^2

Po przerobieniu tej lekcji będziesz potrafił:

Obliczyć pole prostokąta, kwadratu, trójkąta, rombu i trapezu, stosując odpowiednie wzory.
Rozpoznawać i obliczać pola figur złożonych, składających się z prostokątów, kwadratów, trójkątów, rombów i trapezów.
Wykorzystywać własności figur geometrycznych (np. przekątne w rombie, wysokość w trójkącie) do obliczeń pól.
Znajdować brakujące wymiary figury (np. bok, wysokość) na podstawie jej pola i innych danych.
Dokonywać zamian jednostek pola (np. z cm $^2$ na m $^2$ ).
Zastosować wiedzę o polach figur w zadaniach tekstowych.
Obliczyć pole koła i jego wycinka.

Prostokąt: Czworokąt o czterech kątach prostych.
- Wzór na pole: $P = a \cdot b$ , gdzie $a$ i $b$ to długości boków prostokąta.
- $a$ - długość, $b$ - szerokość.
Kwadrat: Czworokąt o czterech bokach równej długości i czterech kątach prostych. Jest szczególnym przypadkiem prostokąta.
- Wzór na pole: $P = a^2$ , gdzie $a$ to długość boku kwadratu.
Trójkąt: Wielokąt o trzech bokach.
- Wzór na pole: $P = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_a$ , gdzie $a$ to długość jednego boku, a $h_a$ to wysokość opuszczona na ten bok.
- Można użyć dowolnego boku jako podstawy i odpowiadającej mu wysokości.
Romb: Czworokąt, którego wszystkie boki mają równe długości. Przekątne rombu są prostopadłe i przecinają się w połowie.
- Wzór na pole (przez boki i kąt): $P = a^2 \cdot \sin(\alpha)$ , gdzie $a$ to długość boku, a $\alpha$ to kąt między bokami. (Ten wzór jest rzadziej używany na egzaminie ósmoklasisty).
- Wzór na pole (przez przekątne): $P = \frac{1}{2} \cdot p \cdot q$ , gdzie $p$ i $q$ to długości przekątnych rombu. Jest to podstawowy wzór na egzaminie.
Trapez: Czworokąt, który ma co najmniej jedną parę boków równoległych. Boki równoległe to podstawy trapezu.
- Wzór na pole: $P = \frac{1}{2} \cdot (a + b) \cdot h$ , gdzie $a$ i $b$ to długości podstaw, a $h$ to wysokość trapezu (odległość między podstawami).
Koło: Zbiór wszystkich punktów na płaszczyźnie, których odległość od ustalonego punktu (środka) jest nie większa niż promień.
- Wzór na pole: $P = \pi r^2$ , gdzie $r$ to promień koła. $\pi$ (pi) to stała matematyczna, w przybliżeniu 3,14.
Wycinek koła: Część koła ograniczona dwoma promieniami i łukiem.
- Pole wycinka o kącie środkowym $\alpha$ (w stopniach): $P_{wycinka} = \frac{\alpha}{360^\circ} \cdot \pi r^2$ .
Zamiana jednostek pola:
- $1 \text{ m} = 100 \text{ cm} \implies 1 \text{ m}^2 = (100 \text{ cm})^2 = 10000 \text{ cm}^2$
- $1 \text{ km} = 1000 \text{ m} \implies 1 \text{ km}^2 = 1000000 \text{ m}^2$
- $1 \text{ ar (a)} = 100 \text{ m}^2$
- $1 \text{ hektar (ha)} = 100 \text{ arów} = 10000 \text{ m}^2$ .

Sprawdzenie: Wzór zastosowany poprawnie, obliczenia wykonane zgodnie ze wzorem. Jednostka pola jest poprawna.

Sprawdzenie: Wzór zastosowany poprawnie, wszystkie dane podstawione. Obliczenia wykonane poprawnie. Jednostka pola jest odpowiednia dla danych wejściowych.

Sprawdzenie: Wzór na pole rombu przez przekątne zastosowany poprawnie. Obliczenia są poprawne.

Mylenie wzorów: Uczniowie często mylą wzory na pole np. trapezu z polem równoległoboku, lub stosują wzór na pole rombu przez boki zamiast przez przekątne. Zawsze dokładnie sprawdzaj, z jaką figurą masz do czynienia i jaki jest jej opis (długości boków, przekątnych, wysokość itp.).
Niewłaściwe jednostki: W zadaniach pojawiają się różne jednostki (np. metry i centymetry). Pamiętaj o zamianie jednostek przed wykonaniem obliczeń lub o poprawnej zamianie jednostki pola na końcu. Najbezpieczniej jest zamienić wszystkie jednostki na jedną, spójną przed rozpoczęciem liczenia.
Błędy w obliczeniach: Pośpiech prowadzi do błędów rachunkowych, zwłaszcza przy ułamkach (jak $\frac{1}{2}$ ) i mnożeniu. Sprawdzaj swoje obliczenia, a jeśli to możliwe, wykonuj je krok po kroku.
Figury złożone: Przy figurach złożonych kluczowe jest poprawne podzielenie ich na prostsze figury składowe (prostokąty, trójkąty itp.). Czasem trzeba dodać pola prostych figur, a czasem odjąć pole mniejszej figury od pola większej. Rysunek pomocniczy jest tu bardzo ważny.
Wysokość w trójkącie/trapezie: Upewnij się, że używasz właściwej wysokości – prostopadłej do podstawy. W trójkątach z kątem rozwartym wysokość może "padać" na zewnątrz figury.

Oblicz pole kwadratu o boku długości 7 cm.
Oblicz pole trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długości 6 cm i 9 cm.
Oblicz pole trapezu, którego podstawy mają długości 15 cm i 25 cm, a wysokość wynosi 10 cm.
Działka w kształcie koła ma promień 10 m. Oblicz jej pole, przyjmując $\pi \approx 3.14$ .
Oblicz pole figury przedstawionej na rysunku. Figurę tę można podzielić na prostokąt i kwadrat. Dłuższy bok prostokąta to 10 cm, krótszy bok to 5 cm. Bok kwadratu wynosi 3 cm.
```
+---------+
|         | 5 cm
+---+-----+
    | 3 cm
    +---+
```
(Rysunek: prostokąt 10x5 cm, do którego od dołu, na środku jednego z 10-cm boków, doklejony jest kwadrat o boku 3 cm. Górna część prostokąta ma 5 cm wysokości, a dolna część prostokąta (razem z kwadratem) ma 8 cm wysokości, z czego 3 cm to kwadrat.)
Pole pewnego rombu wynosi 72 cm $^2$ . Jedna z jego przekątnych ma długość 12 cm. Oblicz długość drugiej przekątnej.
Oblicz pole wycinka koła o promieniu 6 cm, jeśli kąt środkowy tego wycinka wynosi $60^\circ$ . Przyjmij $\pi \approx 3.14$ .

$P = 7^2 = 49$ cm $^2$ .
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne są jednocześnie wysokościami opuszczonymi na siebie nawzajem. $P = \frac{1}{2} \cdot 6 \text{ cm} \cdot 9 \text{ cm} = 27$ cm $^2$ .
$P = \frac{1}{2} \cdot (15 \text{ cm} + 25 \text{ cm}) \cdot 10 \text{ cm} = \frac{1}{2} \cdot 40 \text{ cm} \cdot 10 \text{ cm} = 200$ cm $^2$ .
$P = \pi r^2 = 3.14 \cdot (10 \text{ m})^2 = 3.14 \cdot 100 \text{ m}^2 = 314$ m $^2$ .
Figura składa się z prostokąta o bokach 10 cm i 5 cm (pole $10 \cdot 5 = 50$ cm $^2$ ) oraz z kwadratu o boku 3 cm (pole $3^2 = 9$ cm $^2$ ). Całkowite pole to suma pól: $50 + 9 = 59$ cm $^2$ .
Używamy wzoru $P = \frac{1}{2} p \cdot q$ . $72 \text{ cm}^2 = \frac{1}{2} \cdot 12 \text{ cm} \cdot q$ . $72 \text{ cm}^2 = 6 \text{ cm} \cdot q$ . $q = \frac{72 \text{ cm}^2}{6 \text{ cm}} = 12$ cm. Druga przekątna ma 12 cm.
$P_{wycinka} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi r^2 = \frac{1}{6} \cdot 3.14 \cdot (6 \text{ cm})^2 = \frac{1}{6} \cdot 3.14 \cdot 36 \text{ cm}^2 = 3.14 \cdot 6 \text{ cm}^2 = 18.84$ cm $^2$ .

Jaki wzór na pole prostokąta jest najbardziej podstawowy?
Jak obliczyć pole trójkąta, jeśli znamy jego podstawę i wysokość?
Podaj wzór na pole rombu, gdy znamy jego przekątne.
Jakie są długości podstaw trapezu w podstawowym wzorze na jego pole?
Czy pole koła zależy od jego średnicy czy promienia?

          b
+-----------------+
|                 |
|                 | a
|                 |
+-----------------+
       a  - długość
       b  - szerokość
Pole = a * b

      a
+---------+
| \       |
|  \      | h
|   \     |
+----\----+
      a - podstawa
      h - wysokość
Pole = 0.5 * a * h

       / \
      /   \
     /     \  h
    /_______\
       a

   a - podstawa
   h - wysokość
Pole = 0.5 * a * h

      p
   /-----\
  /       \
 /         \
/-----------\ q
Pole rombu = 0.5 * p * q

       a
+--------------+
|             /|
|            / |
|           /  | h
|          /   |
+---------/----+
     b
   a, b - podstawy
   h - wysokość
Pole trapezu = 0.5 * (a + b) * h

      *****
    *       *
  *           * r
*               *
 *             *
  *           *
    *       *
      *****
 Pole koła = pi * r^2

Pola figur płaskich

Na egzaminie

Mapa tematu

Definicje i wzory

Przykład 1 — podstawowy

Przykład 2 — maturalny

Przykład 3 — egzaminacyjny

Pułapki

Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania

Odpowiedzi

Szybka powtórka

Diagram