Reguła mnożenia

Reguła mnożenia pojawia się na egzaminie ósmoklasisty stosunkowo często, zazwyczaj w zadaniach otwartych punktowanych od 3 do 5 punktów. CKE lubi sprawdzać umiejętność zastosowania tej reguły w prostych sytuacjach życia codziennego, takich jak wybór stroju, układanie przedmiotów czy tworzenie kodów. Często jest też pierwszym krokiem w bardziej złożonych zadaniach kombinatorycznych.

W tej lekcji:

1. Zrozumiesz, czym jest reguła mnożenia.
2. Nauczysz się identyfikować sytuacje, w których można ją zastosować.
3. Opanujesz sposób obliczania liczby możliwości przy użyciu reguły mnożenia.
4. Rozwiążesz przykłady dotyczące wyboru elementów z różnych zbiorów.
5. Poznasz zastosowanie reguły mnożenia w zadaniach z tworzenia liczb i kodów.
6. Nauczysz się rozpoznawać typowe pułapki związane z tym zagadnieniem.
7. Przećwiczysz samodzielne rozwiązywanie zadań na poziomie egzaminacyjnym.

Reguła mnożenia jest podstawową zasadą w kombinatoryce służącą do obliczania liczby wszystkich możliwych sposobów wykonania pewnego ciągu czynności, pod warunkiem, że liczba sposobów wykonania każdej czynności jest niezależna od sposobów wykonania czynności poprzednich.

Sytuacja: Mamy wykonać pewien ciąg czynności.

• Czynność pierwszą można wykonać na $n_1$ sposobów.
• Czynność drugą można wykonać na $n_2$ sposobów.
• Czynność trzecią można wykonać na $n_3$ sposobów.
• ...
• Czynność k-tą można wykonać na $n_k$ sposobów.

Wzór: Całkowita liczba sposobów wykonania całego ciągu czynności (czyli liczba wszystkich możliwych kombinacji) wynosi: $N = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot \dots \cdot n_k$

Kluczowe cechy zastosowania reguły mnożenia:

• Ciąg czynności: Zadanie można rozłożyć na sekwencję niezależnych kroków.
• Niezależność: Wybór w jednym kroku nie wpływa na liczbę wyborów w kolejnych krokach.
• Wszystkie możliwości: Chcemy policzyć wszystkie możliwe kombinacje wyników tych czynności.

Przykład zastosowania: Chcesz wybrać jeden element z pierwszego zbioru i jeden element z drugiego zbioru.

• Zbiór A ma 3 elementy: $\{a_1, a_2, a_3\}$.
• Zbiór B ma 4 elementy: $\{b_1, b_2, b_3, b_4\}$.

Pierwszą czynnością jest wybór elementu ze zbioru A (można to zrobić na 3 sposoby). Drugą czynnością jest wybór elementu ze zbioru B (można to zrobić na 4 sposoby).

Liczba wszystkich możliwych par $(a_i, b_j)$ wynosi: $3 \cdot 4 = 12$. Są to pary: $(a_1, b_1), (a_1, b_2), (a_1, b_3), (a_1, b_4), (a_2, b_1), \dots, (a_3, b_4)$.

Pewien sklep oferuje 3 rodzaje lodów waniliowych i 5 rodzajów polew do lodów. Na ile sposobów można wybrać jedną porcję lodów z jedną polewą?

Krok 1. Zidentyfikuj czynności do wykonania. Czynność 1: Wybór rodzaju lodów. Czynność 2: Wybór rodzaju polewy.

Krok 2. Określ liczbę sposobów wykonania każdej czynności. Liczba sposobów wyboru lodów ($n_1$) = 3. Liczba sposobów wyboru polewy ($n_2$) = 5.

Krok 3. Sprawdź, czy czynności są niezależne. Wybór rodzaju lodów nie wpływa na to, ile jest dostępnych polew, i na odwrót. Czynności są niezależne.

Krok 4. Zastosuj regułę mnożenia. Całkowita liczba sposobów ($N$) = $n_1 \cdot n_2$. $N = 3 \cdot 5 = 15$.

Krok 5. Sformułuj odpowiedź. Można wybrać porcję lodów z polewą na 15 sposobów.

Sprawdzenie: Możemy to sobie wyobrazić: Lody L1 można połączyć z polewami P1, P2, P3, P4, P5 (5 możliwości). Lody L2 można połączyć z polewami P1, P2, P3, P4, P5 (5 możliwości). Lody L3 można połączyć z polewami P1, P2, P3, P4, P5 (5 możliwości). Razem: $5 + 5 + 5 = 15$ możliwości. Wynik jest poprawny.

Chcemy utworzyć dwucyfrową liczbę parzystą, używając cyfr $\{1, 2, 3, 4, 5\}$, przy czym cyfry mogą się powtarzać. Ile jest takich liczb?

Krok 1. Rozłóż problem na czynności i zidentyfikuj warunki. Musimy wybrać dwie cyfry: cyfrę dziesiątek i cyfrę jedności. Warunki:

1. Liczba musi być dwucyfrowa (pierwsza cyfra nie może być 0 – tutaj nie ma 0, więc ten warunek jest automatycznie spełniony).
2. Liczba musi być parzysta (ostatnia cyfra musi być parzysta).
3. Cyfry mogą się powtarzać.
4. Używamy cyfr ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$.

Krok 2. Określ liczbę sposobów dla każdej czynności, zaczynając od tej z największymi ograniczeniami. Największe ograniczenie dotyczy cyfry jedności (musi być parzysta). Czynność 1: Wybór cyfry jedności. Dostępne cyfry parzyste ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ to $\{2, 4\}$. Zatem cyfrę jedności można wybrać na $n_1 = 2$ sposoby.

Czynność 2: Wybór cyfry dziesiątek. Do wyboru mamy wszystkie cyfry ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Ponieważ cyfry mogą się powtarzać, wybór cyfry jedności nie ogranicza wyboru cyfry dziesiątek. Zatem cyfrę dziesiątek można wybrać na $n_2 = 5$ sposobów.

Krok 3. Sprawdź niezależność i zastosuj regułę mnożenia. Czynności są niezależne (w sensie liczby dostępnych opcji w kolejnym kroku). Całkowita liczba sposobów ($N$) = $n_1 \cdot n_2$. $N = 2 \cdot 5 = 10$.

Krok 4. Sformułuj odpowiedź. Istnieje 10 takich dwucyfrowych liczb parzystych.

Sprawdzenie: Wypiszmy te liczby: Cyfra jedności to 2: 12, 22, 32, 42, 52 (5 liczb) Cyfra jedności to 4: 14, 24, 34, 44, 54 (5 liczb) Łącznie: $5 + 5 = 10$ liczb. Wynik poprawny.

Na ile sposobów można utworzyć trzyliterowy kod, używając liter ze zbioru $\{A, B, C, D\}$, jeśli litery mogą się powtarzać?

Krok 1. Zidentyfikuj czynności. Musimy wybrać trzy litery do utworzenia kodu: pierwszą, drugą i trzecią. Czynność 1: Wybór pierwszej litery. Czynność 2: Wybór drugiej litery. Czynność 3: Wybór trzeciej litery.

Krok 2. Określ liczbę sposobów dla każdej czynności. Zbiór dostępnych liter to $\{A, B, C, D\}$, więc mamy 4 dostępne litery. Litery mogą się powtarzać, więc wybór litery na jednej pozycji nie wpływa na liczbę dostępnych opcji na innych pozycjach. Liczba sposobów wyboru pierwszej litery ($n_1$) = 4. Liczba sposobów wyboru drugiej litery ($n_2$) = 4. Liczba sposobów wyboru trzeciej litery ($n_3$) = 4.

Krok 3. Zastosuj regułę mnożenia. Całkowita liczba sposobów ($N$) = $n_1 \cdot n_2 \cdot n_3$. $N = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^3 = 64$.

Krok 4. Sformułuj odpowiedź. Można utworzyć 64 takie trzyliterowe kody.

• Pomylenie z dodawaniem: Reguła dodawania działa, gdy mamy wybierać jedną opcję spośród rozłącznych możliwości (np. wybierasz albo ciastko A, albo ciastko B). Reguła mnożenia działa, gdy wykonujesz kolejne czynności (np. wybierasz ciastko A i do tego napój B).
• Powtarzanie się elementów: W przykładach z tworzeniem liczb lub kodów, kluczowe jest ustalenie, czy cyfry/litery mogą się powtarzać. Jeśli się mogą, liczba opcji w każdym kroku jest taka sama. Jeśli nie mogą, liczba opcji w kolejnych krokach maleje.
• Kolejność czynności: Czasami łatwiej jest zacząć liczenie od czynności, która ma najwięcej ograniczeń (np. ostatnia cyfra w liczbie parzystej). Choć reguła mnożenia jest przemienna ($a \cdot b = b \cdot a$), taka kolejność obliczeń często ułatwia identyfikację liczby możliwości w każdym kroku.
• Brak możliwości 0: Pamiętaj, że pierwsza cyfra liczby (np. dwucyfrowej, trzycyfrowej) nie może być zerem. Jeśli zero jest w zbiorze dostępnych cyfr, musisz to uwzględnić jako ograniczenie w pierwszym kroku.
• Nieczytanie polecenia: Dokładnie czytaj, czy elementy mogą się powtarzać, ile elementów wybierasz, jakie są warunki (np. parzystość, podzielność).

1. W restauracji można zamówić zupę dnia, danie główne i deser. Jest 5 rodzajów zup, 10 rodzajów dań głównych i 6 rodzajów deserów. Na ile sposobów można skomponować trzydaniowy obiad?
2. Ile można utworzyć liczb trzycyfrowych, używając cyfr $\{0, 1, 2, 3, 4\}$, jeśli cyfry mogą się powtarzać?
3. Ile można utworzyć liczb trzycyfrowych parzystych, używając cyfr $\{0, 1, 2, 3, 4\}$, jeśli cyfry mogą się powtarzać?
4. Chłopiec ma 3 koszule i 4 pary spodni. Na ile sposobów może się ubrać, jeśli chce założyć jedną koszulę i jedne spodnie?
5. Ile jest wszystkich trzycyfrowych numerów samochodowych składających się z trzech różnych cyfr ze zbioru $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$?
6. Na ile sposobów można wybrać przewodniczącego i zastępcę spośród 10 uczniów klasy, jeśli jedna osoba nie może pełnić obu funkcji?
7. Ile istnieje trzycyfrowych kodów PIN, w których każda kolejna cyfra jest większa od poprzedniej? (Cyfry od 0 do 9).

1. Kiedy stosujemy regułę mnożenia, a kiedy regułę dodawania?
2. Co oznacza, że czynności w regule mnożenia są "niezależne"?
3. Ile jest możliwości wyboru cyfry jedności w liczbie parzystej?
4. Dlaczego pierwsza cyfra liczby dwucyfrowej nie może być zerem?
5. W zadaniu o wyborze stroju (koszule i spodnie) – czy kolejność wyboru ma znaczenie dla ostatecznego wyniku liczby kombinacji?