Liczby całkowite

Liczby całkowite pojawiają się na egzaminie ósmoklasisty w zadaniach otwartych i zamkniętych. Często są elementem większych problemów, wymagających porównania temperatur, określenia głębokości czy położenia na osi liczbowej. Zazwyczaj zadania te są punktowane od 1 do 3 punktów i sprawdzają umiejętność wykonywania działań na liczbach całkowitych oraz rozumienia ich własności.

1. Zrozumienie pojęcia liczb całkowitych (dodatnie, ujemne, zero).
2. Lokalizacja liczb całkowitych na osi liczbowej.
3. Porównywanie liczb całkowitych.
4. Dodawanie i odejmowanie liczb całkowitych.
5. Mnożenie i dzielenie liczb całkowitych.
6. Kolejność wykonywania działań na liczbach całkowitych.
7. Rozwiązywanie zadań tekstowych z wykorzystaniem liczb całkowitych.
8. Własności liczb całkowitych (parzystość, nieparzystość).

• Liczby całkowite ($\mathbb{Z}$) to zbiór liczb obejmujący:

  • Liczby naturalne dodatnie: $1, 2, 3, \dots$
  • Liczbę zero: $0$
  • Liczby przeciwne do liczb naturalnych dodatnich (liczby ujemne): $-1, -2, -3, \dots$ Zbiór liczb całkowitych zapisujemy jako $\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$.

• Oś liczbowa: Prosta, na której zaznaczamy punkty odpowiadające liczbom. Punkt $0$ to początek osi. Liczby dodatnie zaznaczamy na prawo od $0$, a liczby ujemne na lewo od $0$.

• Porównywanie liczb całkowitych:

  • Każda liczba dodatnia jest większa od zera i każdej liczby ujemnej.
  • Zero jest większe od każdej liczby ujemnej.
  • Spośród dwóch liczb ujemnych, ta która ma większą wartość bezwzględną, jest mniejsza (leży dalej od zera na osi liczbowej).
  • Np. $-5 < -2$, ponieważ $-5$ leży na lewo od $-2$ na osi liczbowej.

• Dodawanie liczb całkowitych:

  • Liczby o tym samym znaku: Sumujemy wartości bezwzględne liczb i dodajemy wspólny znak.
    • $a + b = \text{znak}(a) \cdot (|a| + |b|)$
    • Przykład: $(-3) + (-5) = -8$, $3 + 5 = 8$
  • Liczby o przeciwnych znakach: Odejmujemy mniejszą wartość bezwzględną od większej i wpisujemy znak liczby o większej wartości bezwzględnej.
    • $a + b = \text{znak}(a) \cdot (|a| - |b|)$, gdy $|a| \ge |b|$
    • Przykład: $(-7) + 3 = -4$ (bo $|-7| > |3|$, wynik ma znak minus, obliczamy $7 - 3 = 4$)
    • Przykład: $5 + (-2) = 3$ (bo $|5| > |-2|$, wynik ma znak plus, obliczamy $5 - 2 = 3$)
  • Liczba przeciwna: $a + (-a) = 0$.

• Odejmowanie liczb całkowitych: Odejmując liczbę, dodajemy jej liczbę przeciwną.

  • $a - b = a + (-b)$
  • Przykład: $5 - 8 = 5 + (-8) = -3$
  • Przykład: $-4 - 3 = -4 + (-3) = -7$
  • Przykład: $6 - (-2) = 6 + 2 = 8$
  • Przykład: $-7 - (-1) = -7 + 1 = -6$

• Mnożenie liczb całkowitych:

  • Liczba dodatnia $\times$ Liczba dodatnia = Liczba dodatnia ($+ \cdot + = +$)
  • Liczba ujemna $\times$ Liczba ujemna = Liczba dodatnia ($- \cdot - = +$)
  • Liczba dodatnia $\times$ Liczba ujemna = Liczba ujemna ($+ \cdot - = -$)
  • Liczba ujemna $\times$ Liczba dodatnia = Liczba ujemna ($- \cdot + = -$)
  • Każda liczba $\times 0 = 0$.
  • Wzór ogólny: $a \cdot b = \text{znak}(a) \cdot \text{znak}(b) \cdot |a| \cdot |b|$, gdzie $\text{znak}(x)$ zwraca $+$ dla $x>0$, $-$ dla $x<0$. Lub prościej: mnożymy wartości bezwzględne, a znak określamy według reguły: "plusy dają plus, minusy dają plus, różne znaki dają minus".

• Dzielenie liczb całkowitych: Zasady znaków są takie same jak przy mnożeniu. Dzielenie jest możliwe tylko wtedy, gdy reszta wynosi $0$.

  • Liczba dodatnia $\div$ Liczba dodatnia = Liczba dodatnia ($+ \div + = +$)
  • Liczba ujemna $\div$ Liczba ujemna = Liczba dodatnia ($- \div - = +$)
  • Liczba dodatnia $\div$ Liczba ujemna = Liczba ujemna ($+ \div - = -$)
  • Liczba ujemna $\div$ Liczba dodatnia = Liczba ujemna ($- \div + = -$)
  • Dzielenie przez $0$ jest niedozwolone.
  • $a \div b = \frac{a}{b}$

• Kolejność wykonywania działań:

  1. Działania w nawiasach.
  2. Potęgowanie i pierwiastkowanie (nie występują w tym temacie w kontekście liczb ujemnych).
  3. Mnożenie i dzielenie (od lewej do prawej).
  4. Dodawanie i odejmowanie (od lewej do prawej).

Oblicz: $-5 + (3 - 8) - (-2)$

Krok 1. Wykonaj działanie w nawiasie: $3 - 8$. Ponieważ odejmujemy większą liczbę od mniejszej, wynik będzie ujemny. Obliczamy różnicę wartości bezwzględnych: $8 - 3 = 5$. Zatem $3 - 8 = -5$. Wyrażenie przyjmuje postać: $-5 + (-5) - (-2)$.

Krok 2. Zamień odejmowanie na dodawanie liczby przeciwnej. Odejmowanie liczby $-2$ jest równoważne dodawaniu liczby $2$. Wyrażenie przyjmuje postać: $-5 + (-5) + 2$.

Krok 3. Dodaj liczby o tym samym znaku: $-5 + (-5)$. Sumujemy wartości bezwzględne: $5 + 5 = 10$. Wynik ma znak minus. $-5 + (-5) = -10$. Wyrażenie przyjmuje postać: $-10 + 2$.

Krok 4. Dodaj liczby o przeciwnych znakach: $-10 + 2$. Wartość bezwzględna liczby $-10$ jest większa niż wartość bezwzględna liczby $2$ ($10 > 2$). Wynik będzie miał znak minus. Obliczamy różnicę wartości bezwzględnych: $10 - 2 = 8$. $-10 + 2 = -8$.

Sprawdzenie: Obliczmy krok po kroku: $-5 + (3 - 8) - (-2) = -5 + (-5) - (-2)$ $= -5 - 5 + 2$ $= -10 + 2$ $= -8$ Wynik jest poprawny.

Temperaturę w Zakopanem o godzinie 6 rano wynosiła $-3^\circ\text{C}$. Do godziny 12 temperatura wzrosła o $8^\circ\text{C}$, a do godziny 18 spadła o $5^\circ\text{C}$. Jaka była temperatura w Zakopanem o godzinie 18?

Krok 1. Określ temperaturę po wzroście. Temperatura początkowa: $-3^\circ\text{C}$. Wzrost temperatury o $8^\circ\text{C}$ oznacza dodanie $8$. Temperatura o 12: $-3 + 8$. Są to liczby o przeciwnych znakach. Większą wartość bezwzględną ma $8$. Wynik będzie dodatni. Obliczamy $8 - 3 = 5$. Temperatura o 12: $5^\circ\text{C}$.

Krok 2. Określ temperaturę po spadku. Temperatura o 12: $5^\circ\text{C}$. Spadek temperatury o $5^\circ\text{C}$ oznacza odjęcie $5$. Temperatura o 18: $5 - 5$.

Krok 3. Wykonaj odejmowanie. $5 - 5 = 0$. Temperatura o 18: $0^\circ\text{C}$.

Odpowiedź: Temperatura w Zakopanem o godzinie 18 wynosiła $0^\circ\text{C}$.

W tabeli poniżej przedstawiono wyniki finansowe pewnej firmy przez cztery kolejne kwartały:

| Kwartał | Wynik finansowy (w tys. zł) | | :------ | :-------------------------- | | I | $-1500$ | | II | $+800$ | | III | $-400$ | | IV | $+1200$ |

Oblicz całkowity wynik finansowy firmy za cały rok.

Krok 1. Zapisz wynik finansowy jako sumę liczb całkowitych. Całkowity wynik finansowy to suma wyników z poszczególnych kwartałów: $-1500 + 800 + (-400) + 1200$.

Krok 2. Dodaj liczby dodatnie. $800 + 1200 = 2000$.

Krok 3. Dodaj liczby ujemne. $-1500 + (-400) = -1900$.

Krok 4. Dodaj wyniki z kroku 2 i 3. Wynik całkowity: $-1900 + 2000$. Są to liczby o przeciwnych znakach. Większą wartość bezwzględną ma $2000$. Wynik będzie dodatni. Obliczamy $2000 - 1900 = 100$. Wynik całkowity: $100$.

Odpowiedź: Całkowity wynik finansowy firmy za cały rok wyniósł $100$ tys. zł.

• Mylenie znaków przy mnożeniu/dzieleniu: Szczególnie ważne jest zapamiętanie, że iloczyn dwóch liczb ujemnych jest dodatni (np. $(-3) \cdot (-4) = 12$, a nie $-12$).
• Błędy w odejmowaniu liczb ujemnych: Zamiana odejmowania na dodawanie liczby przeciwnej jest kluczowa. Pamiętaj: $a - (-b) = a + b$. Częstym błędem jest pozostawienie minusa, np. $5 - (-3) = 2$ zamiast $8$.
• Kolejność wykonywania działań: W wyrażeniach typu $5 - 3 \cdot (-2)$, najpierw wykonujemy mnożenie: $3 \cdot (-2) = -6$, a dopiero potem odejmowanie: $5 - (-6) = 5 + 6 = 11$. Nie wykonujemy $5-3=2$, a potem $2 \cdot (-2) = -4$.
• Porównywanie liczb ujemnych: Pamiętaj, że na osi liczbowej liczby stają się mniejsze w lewo. Dlatego $-10$ jest mniejsze niż $-2$. Mylenie wartości bezwzględnej z wartością liczby jest częstym błędem.

1. Oblicz: $-12 + 7 - (-3) + 5$.
2. Oblicz: $(-4) \cdot (-5) + 10$.
3. Oblicz: $\frac{-36}{ -6} - 4$.
4. Pan Jan miał na koncie bankowym $-250$ zł. Wypłacił jeszcze $150$ zł, a następnie wpłacił $400$ zł. Jaki jest stan jego konta po tych operacjach?
5. Temperatura w południe wynosiła $5^\circ\text{C}$. Do wieczora spadła o $7^\circ\text{C}$. Jaka była temperatura wieczorem?
6. Oblicz: $8 - 12 \div (-2) \cdot 3$.
7. Która liczba jest mniejsza: $-100$ czy $-99$?

1. Podaj przykład dwóch liczb całkowitych, których suma jest równa 0.
2. Jaką liczbę otrzymamy, mnożąc liczbę ujemną przez liczbę ujemną?
3. Czy liczba $-5$ jest większa czy mniejsza od $-1$?
4. Jaka jest zasada przy odejmowaniu liczb ujemnych?
5. Ile wynosi $0$ podzielone przez dowolną liczbę całkowitą różną od zera?