Pierwiastki

Pierwiastki kwadratowe pojawiają się na egzaminie ósmoklasisty dość często, zazwyczaj w zadaniach zamkniętych sprawdzających znajomość definicji i podstawowych własności, a także w zadaniach otwartych wymagających obliczeń z ich użyciem. CKE lubi sprawdzać umiejętność upraszczania wyrażeń z pierwiastkami, porównywania liczb z pierwiastkami oraz rozwiązywania prostych równań z pierwiastkami. Za poprawne rozwiązanie zadań z pierwiastkami można zdobyć od 1 do 3 punktów.

Po przerobieniu tej lekcji będziesz potrafił:

1. Zrozumieć definicję pierwiastka kwadratowego z liczby nieujemnej.
2. Obliczać pierwiastki kwadratowe z liczb doskonałych (np. $\sqrt{4}$, $\sqrt{16}$, $\sqrt{100}$).
3. Stosować własność $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ i $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ do upraszczania wyrażeń.
4. Wyciągać liczby spod znaku pierwiastka, np. $\sqrt{18} = 3\sqrt{2}$.
5. Włączać liczby pod znak pierwiastka, np. $2\sqrt{3} = \sqrt{12}$.
6. Porównywać liczby z pierwiastkami kwadratowymi.
7. Rozwiązywać proste równania z niewiadomą pod pierwiastkiem lub równania z pierwiastkami po obu stronach.
8. Szacować wartości pierwiastków kwadratowych z liczb, które nie są kwadratami doskonałymi.

• Pierwiastek kwadratowy z liczby nieujemnej $a$ to taka liczba nieujemna $b$, której kwadrat jest równy $a$. Oznaczamy to jako $\sqrt{a} = b$, gdzie $b \geq 0$ i $b^2 = a$.

  • Przykład: $\sqrt{9} = 3$, ponieważ $3 \geq 0$ i $3^2 = 9$.
  • Przykład: $\sqrt{25} = 5$, ponieważ $5 \geq 0$ i $5^2 = 25$.
  • Nie istnieje pierwiastek kwadratowy z liczby ujemnej w zbiorze liczb rzeczywistych. $\sqrt{-4}$ nie ma rozwiązania.

• Kwadraty liczb naturalnych (kwadraty doskonałe) – warto znać te wartości dla szybszych obliczeń:

  • $1^2 = 1 \implies \sqrt{1} = 1$
  • $2^2 = 4 \implies \sqrt{4} = 2$
  • $3^2 = 9 \implies \sqrt{9} = 3$
  • $4^2 = 16 \implies \sqrt{16} = 4$
  • $5^2 = 25 \implies \sqrt{25} = 5$
  • $6^2 = 36 \implies \sqrt{36} = 6$
  • $7^2 = 49 \implies \sqrt{49} = 7$
  • $8^2 = 64 \implies \sqrt{64} = 8$
  • $9^2 = 81 \implies \sqrt{81} = 9$
  • $10^2 = 100 \implies \sqrt{100} = 10$
  • $11^2 = 121 \implies \sqrt{121} = 11$
  • $12^2 = 144 \implies \sqrt{144} = 12$
  • $13^2 = 169 \implies \sqrt{169} = 13$
  • $14^2 = 196 \implies \sqrt{196} = 14$
  • $15^2 = 225 \implies \sqrt{225} = 15$
  • $20^2 = 400 \implies \sqrt{400} = 20$
  • $100^2 = 10000 \implies \sqrt{10000} = 100$

• Własności pierwiastków kwadratowych:

  • Pierwiastek z iloczynu: Dla liczb $a \geq 0$ i $b \geq 0$: $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ To pozwala rozbić pierwiastek z większej liczby na iloczyn pierwiastków z mniejszych liczb, co ułatwia obliczenia lub wyciąganie czynnika przed pierwiastek.
  • Pierwiastek z ilorazu: Dla liczb $a \geq 0$ i $b > 0$: $\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ Pozwala obliczyć pierwiastek z ułamka, obliczając pierwiastki licznika i mianownika osobno.
  • Wyciąganie czynnika spod pierwiastka: Aby uprościć $\sqrt{N}$, szukamy największego kwadratu liczby całkowitej $k^2$, który jest dzielnikiem $N$. Wtedy $N = k^2 \cdot m$, i: $\sqrt{N} = \sqrt{k^2 \cdot m} = \sqrt{k^2} \cdot \sqrt{m} = k\sqrt{m}$ Przykład: $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
  • Włączanie czynnika pod pierwiastek: Aby włączyć liczbę $k \geq 0$ pod pierwiastek kwadratowy, podnosimy ją do kwadratu: $k\sqrt{m} = \sqrt{k^2} \cdot \sqrt{m} = \sqrt{k^2 \cdot m}$ Przykład: $3\sqrt{2} = \sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$.
  • Potęgowanie pierwiastka: $(\sqrt{a})^2 = a \quad \text{dla } a \geq 0$ $\sqrt{a^2} = |a| \quad \text{dla dowolnej liczby } a$ Na egzaminie ósmoklasisty zazwyczaj mamy do czynienia z liczbami nieujemnymi, więc $\sqrt{a^2} = a$ dla $a \geq 0$.

Oblicz wartość wyrażenia $\sqrt{144} + \sqrt{49} - \sqrt{81}$.

Krok 1. Obliczamy pierwiastek z pierwszej liczby: $\sqrt{144}$. Wiemy, że $12^2 = 144$, więc $\sqrt{144} = 12$. Krok 2. Obliczamy pierwiastek z drugiej liczby: $\sqrt{49}$. Wiemy, że $7^2 = 49$, więc $\sqrt{49} = 7$. Krok 3. Obliczamy pierwiastek z trzeciej liczby: $\sqrt{81}$. Wiemy, że $9^2 = 81$, więc $\sqrt{81} = 9$. Krok 4. Podstawiamy obliczone wartości do wyrażenia: $12 + 7 - 9$. Krok 5. Wykonujemy działania dodawania i odejmowania: $12 + 7 = 19$, a następnie $19 - 9 = 10$.

Odpowiedź: Wartość wyrażenia wynosi $10$.

Sprawdzenie: $\sqrt{144} = 12$ (bo $12^2=144$) $\sqrt{49} = 7$ (bo $7^2=49$) $\sqrt{81} = 9$ (bo $9^2=81$) $12 + 7 - 9 = 19 - 9 = 10$. Wynik jest poprawny.

Uprość wyrażenie $\sqrt{72} + \sqrt{18} - \sqrt{50}$.

Krok 1. Analizujemy każdą liczbę pod pierwiastkiem i szukamy największego kwadratu liczby całkowitej będącego jej dzielnikiem.

• Dla $72$: Dzielniki $72$ to $1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72$. Największy kwadrat wśród nich to $36$. Zatem $72 = 36 \cdot 2$.
• Dla $18$: Dzielniki $18$ to $1, 2, 3, 6, 9, 18$. Największy kwadrat to $9$. Zatem $18 = 9 \cdot 2$.
• Dla $50$: Dzielniki $50$ to $1, 2, 5, 10, 25, 50$. Największy kwadrat to $25$. Zatem $50 = 25 \cdot 2$.

Krok 2. Stosujemy własność $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$ do rozbicia każdego pierwiastka:

• $\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2}$
• $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$
• $\sqrt{50} = \sqrt{25 \cdot 2} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2} = 5\sqrt{2}$

Krok 3. Podstawiamy uproszczone pierwiastki z powrotem do oryginalnego wyrażenia: $6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2}$

Krok 4. Wykonujemy działania. Ponieważ wszystkie składniki mają ten sam czynnik $\sqrt{2}$, możemy traktować $\sqrt{2}$ jak niewiadomą i dodać lub odjąć współczynniki: $(6 + 3 - 5)\sqrt{2}$

Krok 5. Obliczamy wartość współczynnika: $6 + 3 = 9$, a następnie $9 - 5 = 4$. Wynik to $4\sqrt{2}$.

Odpowiedź: Uproszczone wyrażenie to $4\sqrt{2}$.

Sprawdzenie: $\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6\sqrt{2}$ $\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$ $\sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2}$ $6\sqrt{2} + 3\sqrt{2} - 5\sqrt{2} = (6+3-5)\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$. Wynik jest poprawny.

Porównaj liczby $\sqrt{10}$ i $3$.

Krok 1. Aby porównać liczbę z pierwiastkiem, wygodnie jest sprowadzić obie liczby do postaci, w której obie są pod pierwiastkiem lub obie nie są. W tym przypadku łatwiej jest włączyć liczbę $3$ pod znak pierwiastka.

Krok 2. Stosujemy własność włączania czynnika pod pierwiastek: $k\sqrt{m} = \sqrt{k^2 \cdot m}$. W tym przypadku mamy liczbę $3$, którą możemy zapisać jako $3\sqrt{1}$. Włączamy $3$ pod pierwiastek: $3 = \sqrt{3^2} = \sqrt{9}$.

Krok 3. Teraz porównujemy liczby $\sqrt{10}$ i $\sqrt{9}$. Porównujemy liczby pod pierwiastkami. Ponieważ $10 > 9$, to $\sqrt{10} > \sqrt{9}$.

Krok 4. Zastępujemy $\sqrt{9}$ z powrotem liczbą $3$: $\sqrt{10} > 3$.

Odpowiedź: $\sqrt{10}$ jest większe od $3$.

Sprawdzenie: $\sqrt{10}$ to liczba między $\sqrt{9}=3$ a $\sqrt{16}=4$. Jest to około $3.16$. $3.16 > 3$. Porównanie jest poprawne.

• Pierwiastek z liczby ujemnej: Pamiętaj, że w zbiorze liczb rzeczywistych nie można obliczyć pierwiastka kwadratowego z liczby ujemnej. $\sqrt{-16}$ nie istnieje (w zakresie podstawowym).
• Zapominanie o podnoszeniu do kwadratu przy włączaniu pod pierwiastek: Częstym błędem jest zapisanie $3\sqrt{2} = \sqrt{3 \cdot 2} = \sqrt{6}$ zamiast $\sqrt{3^2 \cdot 2} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{18}$. Zawsze podnoś liczbę przed pierwiastkiem do kwadratu.
• Niepełne wyciąganie czynnika: Przy upraszczaniu $\sqrt{72}$, można zauważyć, że $72 = 4 \cdot 18$, co daje $\sqrt{72} = 2\sqrt{18}$. Jest to poprawny krok, ale nie jest to najprostsza postać. Należy szukać największego kwadratu (w tym przypadku $36$), aby uzyskać postać $6\sqrt{2}$.
• Dodawanie/odejmowanie pierwiastków bez wspólnego czynnika podpierwiastkowego: Nie można dodać $\sqrt{2}$ i $\sqrt{3}$ w prosty sposób, pisząc np. $\sqrt{5}$ lub $\sqrt{6}$. Można je dodać tylko wtedy, gdy mają taki sam czynnik pod pierwiastkiem, np. $2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} = 5\sqrt{5}$.
• Błędy przy porównywaniu liczb: Nie porównuj bezpośrednio liczb pod pierwiastkami, jeśli jedna z nich nie jest pod pierwiastkiem. Sprowadź obie do tej samej postaci (obie pod pierwiastkiem lub obie poza). Np. porównując $\sqrt{20}$ i $4$: nie można napisać, że $20>4$ i dlatego $\sqrt{20}>4$. Należy $4$ zamienić na $\sqrt{16}$, a wtedy porównać $\sqrt{20}$ i $\sqrt{16}$, co daje $\sqrt{20} > \sqrt{16}$, czyli $\sqrt{20} > 4$.

1. Oblicz: $\sqrt{64} - \sqrt{36} + \sqrt{100}$.
2. Uprość wyrażenie: $\sqrt{27} + \sqrt{12}$.
3. Uprość wyrażenie: $\sqrt{48} - \sqrt{75}$.
4. Włącz liczbę pod pierwiastek: $5\sqrt{3}$.
5. Porównaj liczby: $\sqrt{50}$ i $7$.
6. Rozwiąż równanie: $\sqrt{x} = 6$.
7. Oblicz przybliżoną wartość $\sqrt{20}$ wiedząc, że $\sqrt{16}=4$ i $\sqrt{25}=5$.

1. Jaka jest definicja pierwiastka kwadratowego z liczby $a$?
2. Podaj wzór na pierwiastek z iloczynu dwóch liczb nieujemnych.
3. Jak uprościć $\sqrt{50}$?
4. Jak zamienić $2\sqrt{7}$ na liczbę pod pierwiastkiem?
5. Czy $\sqrt{-9}$ ma rozwiązanie w zbiorze liczb rzeczywistych?

     Liczba a >= 0
          |
          v
     Obliczamy sqrt(a)
     (Szukamy liczby b >= 0
      takiej, że b*b = a)
          |
          v
     Wynik: sqrt(a) = b