Podzielność liczb

Podzielność pojawia się w zadaniach o dzielnikach, wielokrotnościach, rozkładzie liczb i reszcie z dzielenia. Na egzaminie ósmoklasisty ważne są cechy podzielności oraz sprawne używanie największego wspólnego dzielnika i najmniejszej wspólnej wielokrotności.

1. Rozpoznasz dzielnik i wielokrotność.
2. Zastosujesz cechy podzielności przez 2, 3, 5, 9 i 10.
3. Obliczysz NWD i NWW.
4. Odczytasz resztę z dzielenia.
5. Rozłożysz liczbę na czynniki pierwsze.

Liczba $a$ dzieli liczbę $b$, gdy istnieje całkowite $k$ takie, że $b=a\cdot k$. Zapisujemy wtedy $a\mid b$. Dzielnik nie może być zerem. Wielokrotności liczby $a$ to liczby $a,2a,3a,\ldots$.

Liczba jest podzielna przez $2$, gdy jej ostatnia cyfra jest parzysta; przez $5$, gdy kończy się na $0$ lub $5$; przez $10$, gdy kończy się na $0$; przez $3$ i $9$, gdy odpowiednio suma jej cyfr jest podzielna przez $3$ lub $9$. NWD to największy wspólny dzielnik, a NWW — najmniejsza wspólna wielokrotność. W dzieleniu z resztą $b=a\cdot q+r$, gdzie $0\le r<a$.

Sprawdź, czy $738$ jest podzielne przez $3$ i $9$. Suma cyfr wynosi $7+3+8=18$. Ponieważ $18$ dzieli się przez $3$ i przez $9$, liczba $738$ jest podzielna przez obie te liczby.

Oblicz NWD liczb $84$ i $126$. Rozkłady to $84=2^2\cdot3\cdot7$ oraz $126=2\cdot3^2\cdot7$. Wspólne czynniki z najmniejszymi wykładnikami dają $2\cdot3\cdot7=42$. Zatem $\operatorname{NWD}(84,126)=42$.

• Reszta musi być mniejsza od dzielnika.
• Suma cyfr pomaga przy podzielności przez 3 i 9, ale nie przez 6 bez sprawdzenia parzystości.
• NWD wybiera wspólne czynniki z najmniejszymi wykładnikami.
• NWW wybiera wszystkie czynniki z największymi wykładnikami.
• Nie zapisuj zera jako dzielnika.

1. Wypisz dzielniki liczby $18$.
2. Sprawdź podzielność $4575$ przez $5$, $9$ i $10$.
3. Oblicz NWD liczb $48$ i $72$.
4. Oblicz NWW liczb $12$ i $18$.
5. Podaj resztę z dzielenia $157$ przez $12$.
6. Rozłóż $180$ na czynniki pierwsze.

1. Co oznacza zapis $a\mid b$?
2. Jaka jest cecha podzielności przez 9?
3. Czym różnią się NWD i NWW?
4. Jaki warunek spełnia reszta z dzielenia?
5. Po co rozkłada się liczbę na czynniki pierwsze?

liczba
  ↓
czynniki pierwsze
  ↙          ↘
 NWD         NWW
  ↓            ↓
wspólne       wszystkie
 najmniejsze   największe wykładniki