Diagramy słupkowe i kołowe

Zadania dotyczące diagramów słupkowych i kołowych pojawiają się na egzaminie ósmoklasisty regularnie. Zwykle są to zadania otwarte, a ich punktacja mieści się w przedziale 2–4 punktów. CKE lubi sprawdzać umiejętność odczytywania danych z diagramów, dokonywania na ich podstawie obliczeń (np. procentowych, średniej, sumy) oraz porównywania przedstawionych informacji. Czasem wymagane jest też samodzielne stworzenie prostego diagramu na podstawie tabeli.

W tej lekcji nauczysz się:

Rozpoznawać i interpretować diagramy słupkowe.
Obliczać wartości liczbowe oraz procentowe na podstawie diagramów słupkowych.
Porównywać dane przedstawione na diagramach słupkowych.
Rozpoznawać i interpretować diagramy kołowe.
Obliczać kąt środkowy wycinka koła odpowiadającego danej kategorii.
Obliczać wartości liczbowe i procentowe na podstawie diagramów kołowych.
Przeliczać dane między diagramem słupkowym a kołowym.
Wykorzystywać wiedzę o diagramach do rozwiązywania zadań tekstowych.

Diagram słupkowy: Graficzne przedstawienie danych za pomocą prostokątów (słupków) o długości proporcjonalnej do wartości przedstawianych danych. Słupki mogą być rysowane pionowo lub poziomo. Na osiach znajdują się zazwyczaj opisy kategorii danych i odpowiadające im wartości liczbowe.
Diagram kołowy (wykres kołowy): Graficzne przedstawienie danych w postaci koła podzielonego na wycinki. Wielkość każdego wycinka (kąt środkowy) jest proporcjonalna do wartości danej kategorii w stosunku do całości. Całe koło reprezentuje 100% lub sumę wszystkich danych.
Kąt wycinka koła: W diagramie kołowym kąt środkowy wycinka dla danej kategorii oblicza się ze wzoru: $\text{Kąt wycinka} = \frac{\text{Wartość danej kategorii}}{\text{Suma wszystkich wartości}} \cdot 360^\circ$
Procentowy udział kategorii: W diagramie kołowym udział procentowy danej kategorii oblicza się ze wzoru: $\text{Udział procentowy} = \frac{\text{Wartość danej kategorii}}{\text{Suma wszystkich wartości}} \cdot 100\%$
Wartość kategorii na podstawie procentu: Jeśli znamy procentowy udział kategorii i sumę wszystkich danych, możemy obliczyć wartość tej kategorii: $\text{Wartość kategorii} = \frac{\text{Udział procentowy}}{100\%} \cdot \text{Suma wszystkich wartości}$
Średnia arytmetyczna: Suma wszystkich danych podzielona przez ich liczbę. W kontekście diagramów, suma wartości wszystkich kategorii podzielona przez liczbę kategorii. $\text{Średnia} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$

Na poniższym diagramie słupkowym przedstawiono liczbę uczniów, którzy wybrali poszczególne języki obce jako drugi język.

[Wyobraź sobie diagram słupkowy: Na osi poziomej nazwy języków (Angielski, Niemiecki, Francuski, Hiszpański). Na osi pionowej liczba uczniów (od 0 do 30 z podziałką co 5). Słupki sięgają kolejno: Angielski - 25, Niemiecki - 15, Francuski - 10, Hiszpański - 20.]

a) Ilu uczniów wybrało język angielski? b) Który język wybrało najwięcej uczniów? c) Ilu uczniów łącznie uczy się języka niemieckiego i hiszpańskiego? d) Jaki procent wszystkich badanych uczniów uczy się języka francuskiego?

Rozwiązanie:

Krok 1. Odczytanie danych dla języka angielskiego: Na diagramie znajdujemy słupek odpowiadający językowi angielskiemu. Jego wysokość wskazuje na liczbę uczniów. Jest to 25.
- Odpowiedź a): 25 uczniów wybrało język angielski.
Krok 2. Identyfikacja najpopularniejszego języka: Porównujemy wysokości wszystkich słupków: Angielski (25), Niemiecki (15), Francuski (10), Hiszpański (20). Najwyższy słupek odpowiada językowi angielskiemu.
- Odpowiedź b): Język angielski wybrało najwięcej uczniów.
Krok 3. Zsumowanie wybranych języków: Odczytujemy liczbę uczniów dla języka niemieckiego (15) i hiszpańskiego (20). Następnie sumujemy te wartości: $15 + 20 = 35$ .
- Odpowiedź c): Łącznie 35 uczniów uczy się języka niemieckiego i hiszpańskiego.
Krok 4. Obliczenie liczby wszystkich uczniów: Sumujemy uczniów wybierających wszystkie języki: $25 + 15 + 10 + 20 = 70$ .
- Całkowita liczba uczniów to 70.
Krok 5. Obliczenie procentowego udziału języka francuskiego: Dzielimy liczbę uczniów uczących się francuskiego (10) przez całkowitą liczbę uczniów (70) i mnożymy przez 100%: $\frac{10}{70} \cdot 100\% = \frac{1}{7} \cdot 100\% \approx 14.29\%$
- Odpowiedź d): Język francuski wybrało około 14.29% wszystkich badanych uczniów.

Sprawdzenie: Wszystkie obliczenia wydają się poprawne, dane zostały odczytane prawidłowo z diagramu.

Na poniższym diagramie kołowym przedstawiono wyniki ankiety dotyczącej ulubionych kolorów uczniów pewnej klasy.

[Wyobraź sobie diagram kołowy: Koło podzielone na 4 wycinki. Jeden wycinek (Niebieski) zajmuje około połowy koła. Drugi (Zielony) zajmuje około 1/4 koła. Trzeci (Czerwony) zajmuje 1/8 koła. Czwarty (Żółty) zajmuje 1/8 koła. Są podane procenty: Niebieski - 50%, Zielony - 25%, Czerwony - 12.5%, Żółty - 12.5%. Suma procentów: $50\% + 25\% + 12.5\% + 12.5\% = 100\%$ .]

W klasie jest 32 uczniów. a) Ilu uczniów wybrało kolor niebieski jako ulubiony? b) Oblicz, jaki kąt środkowy ma wycinek odpowiadający kolorowi zielonemu. c) Gdybyśmy chcieli przedstawić te dane na diagramie słupkowym, jaka byłaby wysokość słupka dla koloru czerwonego, zakładając, że najwyższy słupek (niebieski) ma wysokość 10 cm?

Rozwiązanie:

Krok 1. Obliczenie liczby uczniów dla koloru niebieskiego: Skoro 50% uczniów wybrało kolor niebieski, a jest 32 uczniów, to liczba ta wynosi: $50\% \text{ z } 32 = \frac{50}{100} \cdot 32 = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16$
- Odpowiedź a): 16 uczniów wybrało kolor niebieski.
Krok 2. Obliczenie kąta środkowego dla koloru zielonego: Kolor zielony stanowi 25% wszystkich uczniów. Kąt środkowy całego koła to $360^\circ$ . Obliczamy kąt dla 25%: $25\% \text{ z } 360^\circ = \frac{25}{100} \cdot 360^\circ = \frac{1}{4} \cdot 360^\circ = 90^\circ$
- Odpowiedź b): Wycinek odpowiadający kolorowi zielonemu ma kąt środkowy $90^\circ$ .
Krok 3. Ustalenie skali dla diagramu słupkowego: Wiemy, że 50% uczniów (czyli 16 uczniów) odpowiada 10 cm wysokości słupka. Chcemy dowiedzieć się, jaka jest wysokość słupka dla koloru czerwonego.
- Najpierw obliczmy liczbę uczniów wybierających kolor czerwony: $12.5\% \text{ z } 32 = \frac{12.5}{100} \cdot 32 = \frac{1}{8} \cdot 32 = 4$ 4 uczniowie wybrali kolor czerwony.
- Teraz ustalamy proporcję między liczbą uczniów a wysokością słupka. Jeśli 16 uczniów to 10 cm, to ilu cm odpowiada 4 uczniom? $\frac{16 \text{ uczniów}}{10 \text{ cm}} = \frac{4 \text{ uczniów}}{x \text{ cm}}$ $16x = 4 \cdot 10$ $16x = 40$ $x = \frac{40}{16} = \frac{10}{4} = 2.5 \text{ cm}$
- Alternatywnie, można zauważyć, że 4 uczniów to $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ liczby uczniów odpowiadającej 10 cm. Zatem wysokość słupka będzie $\frac{1}{4}$ tej wysokości: $\frac{1}{4} \cdot 10 \text{ cm} = 2.5 \text{ cm}$ .
- Odpowiedź c): Słupek dla koloru czerwonego miałby wysokość 2.5 cm.

Sprawdzenie: Obliczenia procentowe i proporcje zostały wykonane poprawnie. Związek między liczbą uczniów a wielkością wycinka/słupka jest zachowany.

Poniżej znajduje się fragment tabeli przedstawiającej dochody pewnej firmy w kolejnych kwartałach roku 2023.

| Kwartał | Dochód (w tys. zł) | | :------ | :----------------- | | I | 120 | | II | 150 | | III | 130 | | IV | 170 |

a) Oblicz średni miesięczny dochód firmy w pierwszym kwartale. b) Przedstaw dochody firmy w drugim półroczu na diagramie kołowym. (Załóż, że II półrocze to IV kwartał) c) Jaki procent całorocznego dochodu stanowił dochód z trzeciego kwartału?

Rozwiązanie:

Krok 1. Obliczenie dochodu w pierwszym kwartale: Pierwszy kwartał to 3 miesiące. Dochód wyniósł 120 tys. zł. Średni miesięczny dochód to: $\text{Średni miesięczny dochód (I kwartał)} = \frac{120 \text{ tys. zł}}{3 \text{ miesiące}} = 40 \text{ tys. zł/miesiąc}$
- Odpowiedź a): Średni miesięczny dochód firmy w pierwszym kwartale wynosił 40 tys. zł.
Krok 2. Ustalenie dochodu w drugim półroczu i całorocznego dochodu: Zadanie podaje, że II półrocze to IV kwartał. W zadaniu prawdopodobnie chodzi o analizę całego roku. Obliczmy najpierw całoroczny dochód: $\text{Całoroczny dochód} = 120 + 150 + 130 + 170 = 570 \text{ tys. zł}$ Dochód z II półrocza (IV kwartału) to 170 tys. zł.
Krok 3. Obliczenie kąta dla diagramu kołowego dla II półrocza: Zakładamy, że pytanie dotyczyło udziału dochodu z IV kwartału w całym roku, a nie "drugiego półrocza" jako osobnego okresu. Jeśli jednak pytanie miało być o II półrocze, to musimy mieć dane z III i IV kwartału. Przyjmując tekst dosłownie: "Przedstaw dochody firmy w drugim półroczu na diagramie kołowym. (Załóż, że II półrocze to IV kwartał)". Jest to sformułowanie nieprecyzyjne. Najczęściej jednak w takich zadaniach chodzi o przedstawienie udziału poszczególnych kategorii w całości (tutaj: roku). Jeśli jednak mamy stworzyć diagram dla "drugiego półrocza", a wiemy, że to IV kwartał, to diagram kołowy dla jednej wartości nie ma sensu. Zakładając, że chodzi o udział IV kwartału w całym roku: $\text{Udział IV kwartału} = \frac{170}{570} \approx 0.2982$ $\text{Kąt dla IV kwartału} = \frac{170}{570} \cdot 360^\circ \approx 0.2982 \cdot 360^\circ \approx 107.35^\circ$
- Odpowiedź b): Jeśli pytanie dotyczyło udziału IV kwartału w całym roku, to kąt wynosi około $107.35^\circ$ . (Uwaga: Sformułowanie zadania jest mylące. Jeśli chodziło o dochód z całego drugiego półrocza, potrzebne byłyby dane z III i IV kwartału, a potem obliczenie procentu lub kąta z całości roku.)
Krok 4. Obliczenie procentowego udziału dochodu z III kwartału: Dochód z III kwartału to 130 tys. zł. Całoroczny dochód to 570 tys. zł. $\text{Udział procentowy III kwartału} = \frac{130}{570} \cdot 100\% \approx 0.2281 \cdot 100\% \approx 22.81\%$
- Odpowiedź c): Dochód z trzeciego kwartału stanowił około 22.81% całorocznego dochodu.

Sprawdzenie: Obliczenia średniej, sumy, procentów i kątów zostały wykonane zgodnie ze wzorami. Uwzględniono nieścisłość w sformułowaniu pytania b).

Błąd w odczycie danych: Uważnie sprawdzaj wartości na osiach diagramu, zwłaszcza przy niestandardowej podziałce. Czasem wartości są podane w tysiącach, milionach lub procentach.
Niewłaściwa interpretacja procentów: W diagramie kołowym procenty odnoszą się do całości (100%). W diagramie słupkowym mogą przedstawiać udziały lub konkretne liczby. Zawsze sprawdź opis osi i legendę.
Błędy w obliczeniach procentowych i proporcjach: Przy obliczaniu procentów lub kątów łatwo o pomyłkę. Sprawdzaj rachunki, zwłaszcza przy dzieleniu i mnożeniu liczb dziesiętnych lub ułamków. Upewnij się, że używasz właściwej podstawy (suma wszystkich danych lub 360 stopni).
Niedostateczne obliczenie sumy: Przy obliczaniu procentowego udziału lub średniej musisz znać sumę wszystkich danych. Upewnij się, że uwzględniłeś wszystkie kategorie przedstawione na diagramie.
Niepoprawne założenia przy zamianie diagramów: Przechodząc z diagramu kołowego na słupkowy (lub odwrotnie), pamiętaj o zachowaniu proporcji. Jeśli np. słupek odpowiada konkretnej liczbie, a wycinek procentowi, musisz obliczyć liczbę odpowiadającą temu procentowi, lub ustalić skalę.

Na diagramie słupkowym przedstawiono liczbę godzin spędzonych przez uczniów klasy 8a na nauce języka angielskiego w ciągu tygodnia. Odczytaj dane i odpowiedz na pytania: [Diagram słupkowy: Oś pozioma - Dzień tygodnia (Pon, Wt, Śr, Czw, Pt, Sob, Niedz). Oś pionowa - Liczba godzin (0-4). Słupki: Pon - 1.5h, Wt - 2h, Śr - 1h, Czw - 2.5h, Pt - 0.5h, Sob - 3h, Niedz - 2h.] a) Ile godzin w tygodniu na naukę języka angielskiego poświęcił najwięcej czasu uczeń? b) W które dni uczeń poświęcił na naukę więcej niż 2 godziny? c) Oblicz średnią liczbę godzin nauki języka angielskiego dziennie w ciągu całego tygodnia.
Diagram kołowy przedstawia podział budżetu pewnego miasta na różne cele. Na edukację przeznaczono 40%, na służbę zdrowia 30%, na kulturę 20%, a na transport 10%. Całkowity budżet miasta wynosi 80 milionów złotych. a) Ile milionów złotych przeznaczono na kulturę? b) Jaki kąt środkowy ma wycinek odpowiadający służbie zdrowia? c) O ile procent więcej środków przeznaczono na edukację niż na transport?
W pewnej szkole przeprowadzono ankietę na temat ulubionych gatunków filmowych. Wyniki przedstawiono na diagramie słupkowym: Komedia - 120 głosów, Akcja - 90 głosów, Fantasy - 60 głosów, Sci-Fi - 30 głosów. a) Ilu uczniów wzięło udział w ankiecie? b) Jaki procent wszystkich głosów stanowiły głosy na filmy akcji? c) Gdyby te dane przedstawić na diagramie kołowym, jaki kąt miałby wycinek odpowiadający filmom fantasy?
Na podstawie danych z zadania 3, przedstaw wyniki na diagramie kołowym. (Narysuj go lub opisz kąty poszczególnych wycinków).
Diagram kołowy przedstawia rozkład ocen z matematyki na świadectwie: 5 - 20%, 4 - 35%, 3 - 40%, 2 - 5%. a) Jaki procent uczniów otrzymał ocenę 3 lub wyższą? b) Ile stopni ma kąt środkowy wycinka odpowiadającego ocenie niedostatecznej (której nie ma na diagramie, zakładamy 0%)? c) Jeśli w klasie jest 40 uczniów, ilu z nich otrzymało ocenę 4?
Poniższe dane przedstawiają sprzedaż lodów w budce w ciągu jednego dnia: [Diagram słupkowy: Lody waniliowe - 50 szt., Czekoladowe - 70 szt., Truskawkowe - 40 szt., Śmietankowe - 60 szt.] a) Ile sztuk lodów sprzedano łącznie? b) Jaki procent całej sprzedaży stanowiły lody truskawkowe? c) Na diagramie kołowym, jaki kąt miałby wycinek odpowiadający lodom czekoladowym?

a) 3 godziny. b) W czwartek (2.5h) i sobotę (3h). c) Suma godzin: $1.5 + 2 + 1 + 2.5 + 0.5 + 3 + 2 = 12.5$ godziny. Średnia: $\frac{12.5}{7} \approx 1.79$ godziny dziennie.
a) $20\% \text{ z } 80 \text{ mln zł} = \frac{20}{100} \cdot 80 = 0.2 \cdot 80 = 16$ mln zł. b) $30\% \text{ z } 360^\circ = \frac{30}{100} \cdot 360^\circ = 0.3 \cdot 360^\circ = 108^\circ$ . c) Na edukację: 40%, na transport: 10%. Różnica: $40\% - 10\% = 30\%$ .
a) Suma głosów: $120 + 90 + 60 + 30 = 300$ uczniów. b) $\frac{90}{300} \cdot 100\% = \frac{9}{30} \cdot 100\% = \frac{3}{10} \cdot 100\% = 30\%$ . c) Dane z III kwartału (Fantasy): 60 głosów. Całość: 300 głosów. Kąt: $\frac{60}{300} \cdot 360^\circ = \frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ$ .
Kąty na diagramie kołowym: Komedie: $\frac{120}{300} \cdot 360^\circ = \frac{2}{5} \cdot 360^\circ = 144^\circ$ . Akcja: $\frac{90}{300} \cdot 360^\circ = \frac{3}{10} \cdot 360^\circ = 108^\circ$ . Fantasy: $\frac{60}{300} \cdot 360^\circ = \frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ$ . Sci-Fi: $\frac{30}{300} \cdot 360^\circ = \frac{1}{10} \cdot 360^\circ = 36^\circ$ . Suma kątów: $144^\circ + 108^\circ + 72^\circ + 36^\circ = 360^\circ$ .
a) Udział ocen 3 i wyższych: $35\% (\text{ocena } 4) + 40\% (\text{ocena } 3) + 20\% (\text{ocena } 5) = 95\%$ . b) Kąt dla 0% to $0^\circ$ . c) $35\% \text{ z } 40 \text{ uczniów} = \frac{35}{100} \cdot 40 = 0.35 \cdot 40 = 14$ uczniów.
a) Suma sztuk: $50 + 70 + 40 + 60 = 220$ sztuk. b) $\frac{40}{220} \cdot 100\% = \frac{4}{22} \cdot 100\% = \frac{2}{11} \cdot 100\% \approx 18.18\%$ . c) Lody czekoladowe: 70 sztuk. Całość: 220 sztuk. Kąt: $\frac{70}{220} \cdot 360^\circ = \frac{7}{22} \cdot 360^\circ \approx 0.3182 \cdot 360^\circ \approx 114.55^\circ$ .

Jakie dwie główne rodzaje diagramów omawialiśmy?
Co reprezentuje pełne koło w diagramie kołowym?
Jak obliczyć kąt środkowy wycinka, jeśli znamy procentowy udział danej kategorii?
Jak obliczyć średnią arytmetyczną z danych przedstawionych na diagramie słupkowym?
Dlaczego ważne jest dokładne odczytywanie danych z osi diagramu?

Diagram słupkowy (ogólny schemat):

^ Liczba
|
|    +---+
|    |   |
|    |   | +---+
|    |   | |   |
| +---+  | |   | +---+
| |   |  | |   | |   |
+---------------------------> Kategoria
  Kat A    Kat B    Kat C

Diagram kołowy (ogólny schemat):

      /---\
     /     \
    /       \
   |---------|  <-- Środek koła
    \       /
     \     /
      \---/

Wycinki reprezentują udziały procentowe lub liczbowe.
Suma kątów wszystkich wycinków wynosi 360 stopni.

W tej lekcji nauczysz się:

Rozpoznawać i interpretować diagramy słupkowe.
Obliczać wartości liczbowe oraz procentowe na podstawie diagramów słupkowych.
Porównywać dane przedstawione na diagramach słupkowych.
Rozpoznawać i interpretować diagramy kołowe.
Obliczać kąt środkowy wycinka koła odpowiadającego danej kategorii.
Obliczać wartości liczbowe i procentowe na podstawie diagramów kołowych.
Przeliczać dane między diagramem słupkowym a kołowym.
Wykorzystywać wiedzę o diagramach do rozwiązywania zadań tekstowych.

Diagram słupkowy: Graficzne przedstawienie danych za pomocą prostokątów (słupków) o długości proporcjonalnej do wartości przedstawianych danych. Słupki mogą być rysowane pionowo lub poziomo. Na osiach znajdują się zazwyczaj opisy kategorii danych i odpowiadające im wartości liczbowe.
Diagram kołowy (wykres kołowy): Graficzne przedstawienie danych w postaci koła podzielonego na wycinki. Wielkość każdego wycinka (kąt środkowy) jest proporcjonalna do wartości danej kategorii w stosunku do całości. Całe koło reprezentuje 100% lub sumę wszystkich danych.
Kąt wycinka koła: W diagramie kołowym kąt środkowy wycinka dla danej kategorii oblicza się ze wzoru: $\text{Kąt wycinka} = \frac{\text{Wartość danej kategorii}}{\text{Suma wszystkich wartości}} \cdot 360^\circ$
Procentowy udział kategorii: W diagramie kołowym udział procentowy danej kategorii oblicza się ze wzoru: $\text{Udział procentowy} = \frac{\text{Wartość danej kategorii}}{\text{Suma wszystkich wartości}} \cdot 100\%$
Wartość kategorii na podstawie procentu: Jeśli znamy procentowy udział kategorii i sumę wszystkich danych, możemy obliczyć wartość tej kategorii: $\text{Wartość kategorii} = \frac{\text{Udział procentowy}}{100\%} \cdot \text{Suma wszystkich wartości}$
Średnia arytmetyczna: Suma wszystkich danych podzielona przez ich liczbę. W kontekście diagramów, suma wartości wszystkich kategorii podzielona przez liczbę kategorii. $\text{Średnia} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$

Na poniższym diagramie słupkowym przedstawiono liczbę uczniów, którzy wybrali poszczególne języki obce jako drugi język.

Rozwiązanie:

Krok 1. Odczytanie danych dla języka angielskiego: Na diagramie znajdujemy słupek odpowiadający językowi angielskiemu. Jego wysokość wskazuje na liczbę uczniów. Jest to 25.
- Odpowiedź a): 25 uczniów wybrało język angielski.
Krok 2. Identyfikacja najpopularniejszego języka: Porównujemy wysokości wszystkich słupków: Angielski (25), Niemiecki (15), Francuski (10), Hiszpański (20). Najwyższy słupek odpowiada językowi angielskiemu.
- Odpowiedź b): Język angielski wybrało najwięcej uczniów.
Krok 3. Zsumowanie wybranych języków: Odczytujemy liczbę uczniów dla języka niemieckiego (15) i hiszpańskiego (20). Następnie sumujemy te wartości: $15 + 20 = 35$ .
- Odpowiedź c): Łącznie 35 uczniów uczy się języka niemieckiego i hiszpańskiego.
Krok 4. Obliczenie liczby wszystkich uczniów: Sumujemy uczniów wybierających wszystkie języki: $25 + 15 + 10 + 20 = 70$ .
- Całkowita liczba uczniów to 70.
Krok 5. Obliczenie procentowego udziału języka francuskiego: Dzielimy liczbę uczniów uczących się francuskiego (10) przez całkowitą liczbę uczniów (70) i mnożymy przez 100%: $\frac{10}{70} \cdot 100\% = \frac{1}{7} \cdot 100\% \approx 14.29\%$
- Odpowiedź d): Język francuski wybrało około 14.29% wszystkich badanych uczniów.

Sprawdzenie: Wszystkie obliczenia wydają się poprawne, dane zostały odczytane prawidłowo z diagramu.

Na poniższym diagramie kołowym przedstawiono wyniki ankiety dotyczącej ulubionych kolorów uczniów pewnej klasy.

Rozwiązanie:

Krok 1. Obliczenie liczby uczniów dla koloru niebieskiego: Skoro 50% uczniów wybrało kolor niebieski, a jest 32 uczniów, to liczba ta wynosi: $50\% \text{ z } 32 = \frac{50}{100} \cdot 32 = \frac{1}{2} \cdot 32 = 16$
- Odpowiedź a): 16 uczniów wybrało kolor niebieski.
Krok 2. Obliczenie kąta środkowego dla koloru zielonego: Kolor zielony stanowi 25% wszystkich uczniów. Kąt środkowy całego koła to $360^\circ$ . Obliczamy kąt dla 25%: $25\% \text{ z } 360^\circ = \frac{25}{100} \cdot 360^\circ = \frac{1}{4} \cdot 360^\circ = 90^\circ$
- Odpowiedź b): Wycinek odpowiadający kolorowi zielonemu ma kąt środkowy $90^\circ$ .
Krok 3. Ustalenie skali dla diagramu słupkowego: Wiemy, że 50% uczniów (czyli 16 uczniów) odpowiada 10 cm wysokości słupka. Chcemy dowiedzieć się, jaka jest wysokość słupka dla koloru czerwonego.
- Najpierw obliczmy liczbę uczniów wybierających kolor czerwony: $12.5\% \text{ z } 32 = \frac{12.5}{100} \cdot 32 = \frac{1}{8} \cdot 32 = 4$ 4 uczniowie wybrali kolor czerwony.
- Teraz ustalamy proporcję między liczbą uczniów a wysokością słupka. Jeśli 16 uczniów to 10 cm, to ilu cm odpowiada 4 uczniom? $\frac{16 \text{ uczniów}}{10 \text{ cm}} = \frac{4 \text{ uczniów}}{x \text{ cm}}$ $16x = 4 \cdot 10$ $16x = 40$ $x = \frac{40}{16} = \frac{10}{4} = 2.5 \text{ cm}$
- Alternatywnie, można zauważyć, że 4 uczniów to $\frac{4}{16} = \frac{1}{4}$ liczby uczniów odpowiadającej 10 cm. Zatem wysokość słupka będzie $\frac{1}{4}$ tej wysokości: $\frac{1}{4} \cdot 10 \text{ cm} = 2.5 \text{ cm}$ .
- Odpowiedź c): Słupek dla koloru czerwonego miałby wysokość 2.5 cm.

Sprawdzenie: Obliczenia procentowe i proporcje zostały wykonane poprawnie. Związek między liczbą uczniów a wielkością wycinka/słupka jest zachowany.

Poniżej znajduje się fragment tabeli przedstawiającej dochody pewnej firmy w kolejnych kwartałach roku 2023.

| Kwartał | Dochód (w tys. zł) | | :------ | :----------------- | | I | 120 | | II | 150 | | III | 130 | | IV | 170 |

Rozwiązanie:

Krok 1. Obliczenie dochodu w pierwszym kwartale: Pierwszy kwartał to 3 miesiące. Dochód wyniósł 120 tys. zł. Średni miesięczny dochód to: $\text{Średni miesięczny dochód (I kwartał)} = \frac{120 \text{ tys. zł}}{3 \text{ miesiące}} = 40 \text{ tys. zł/miesiąc}$
- Odpowiedź a): Średni miesięczny dochód firmy w pierwszym kwartale wynosił 40 tys. zł.
Krok 2. Ustalenie dochodu w drugim półroczu i całorocznego dochodu: Zadanie podaje, że II półrocze to IV kwartał. W zadaniu prawdopodobnie chodzi o analizę całego roku. Obliczmy najpierw całoroczny dochód: $\text{Całoroczny dochód} = 120 + 150 + 130 + 170 = 570 \text{ tys. zł}$ Dochód z II półrocza (IV kwartału) to 170 tys. zł.
Krok 3. Obliczenie kąta dla diagramu kołowego dla II półrocza: Zakładamy, że pytanie dotyczyło udziału dochodu z IV kwartału w całym roku, a nie "drugiego półrocza" jako osobnego okresu. Jeśli jednak pytanie miało być o II półrocze, to musimy mieć dane z III i IV kwartału. Przyjmując tekst dosłownie: "Przedstaw dochody firmy w drugim półroczu na diagramie kołowym. (Załóż, że II półrocze to IV kwartał)". Jest to sformułowanie nieprecyzyjne. Najczęściej jednak w takich zadaniach chodzi o przedstawienie udziału poszczególnych kategorii w całości (tutaj: roku). Jeśli jednak mamy stworzyć diagram dla "drugiego półrocza", a wiemy, że to IV kwartał, to diagram kołowy dla jednej wartości nie ma sensu. Zakładając, że chodzi o udział IV kwartału w całym roku: $\text{Udział IV kwartału} = \frac{170}{570} \approx 0.2982$ $\text{Kąt dla IV kwartału} = \frac{170}{570} \cdot 360^\circ \approx 0.2982 \cdot 360^\circ \approx 107.35^\circ$
- Odpowiedź b): Jeśli pytanie dotyczyło udziału IV kwartału w całym roku, to kąt wynosi około $107.35^\circ$ . (Uwaga: Sformułowanie zadania jest mylące. Jeśli chodziło o dochód z całego drugiego półrocza, potrzebne byłyby dane z III i IV kwartału, a potem obliczenie procentu lub kąta z całości roku.)
Krok 4. Obliczenie procentowego udziału dochodu z III kwartału: Dochód z III kwartału to 130 tys. zł. Całoroczny dochód to 570 tys. zł. $\text{Udział procentowy III kwartału} = \frac{130}{570} \cdot 100\% \approx 0.2281 \cdot 100\% \approx 22.81\%$
- Odpowiedź c): Dochód z trzeciego kwartału stanowił około 22.81% całorocznego dochodu.

Sprawdzenie: Obliczenia średniej, sumy, procentów i kątów zostały wykonane zgodnie ze wzorami. Uwzględniono nieścisłość w sformułowaniu pytania b).

Błąd w odczycie danych: Uważnie sprawdzaj wartości na osiach diagramu, zwłaszcza przy niestandardowej podziałce. Czasem wartości są podane w tysiącach, milionach lub procentach.
Niewłaściwa interpretacja procentów: W diagramie kołowym procenty odnoszą się do całości (100%). W diagramie słupkowym mogą przedstawiać udziały lub konkretne liczby. Zawsze sprawdź opis osi i legendę.
Błędy w obliczeniach procentowych i proporcjach: Przy obliczaniu procentów lub kątów łatwo o pomyłkę. Sprawdzaj rachunki, zwłaszcza przy dzieleniu i mnożeniu liczb dziesiętnych lub ułamków. Upewnij się, że używasz właściwej podstawy (suma wszystkich danych lub 360 stopni).
Niedostateczne obliczenie sumy: Przy obliczaniu procentowego udziału lub średniej musisz znać sumę wszystkich danych. Upewnij się, że uwzględniłeś wszystkie kategorie przedstawione na diagramie.
Niepoprawne założenia przy zamianie diagramów: Przechodząc z diagramu kołowego na słupkowy (lub odwrotnie), pamiętaj o zachowaniu proporcji. Jeśli np. słupek odpowiada konkretnej liczbie, a wycinek procentowi, musisz obliczyć liczbę odpowiadającą temu procentowi, lub ustalić skalę.

Na diagramie słupkowym przedstawiono liczbę godzin spędzonych przez uczniów klasy 8a na nauce języka angielskiego w ciągu tygodnia. Odczytaj dane i odpowiedz na pytania: [Diagram słupkowy: Oś pozioma - Dzień tygodnia (Pon, Wt, Śr, Czw, Pt, Sob, Niedz). Oś pionowa - Liczba godzin (0-4). Słupki: Pon - 1.5h, Wt - 2h, Śr - 1h, Czw - 2.5h, Pt - 0.5h, Sob - 3h, Niedz - 2h.] a) Ile godzin w tygodniu na naukę języka angielskiego poświęcił najwięcej czasu uczeń? b) W które dni uczeń poświęcił na naukę więcej niż 2 godziny? c) Oblicz średnią liczbę godzin nauki języka angielskiego dziennie w ciągu całego tygodnia.
Diagram kołowy przedstawia podział budżetu pewnego miasta na różne cele. Na edukację przeznaczono 40%, na służbę zdrowia 30%, na kulturę 20%, a na transport 10%. Całkowity budżet miasta wynosi 80 milionów złotych. a) Ile milionów złotych przeznaczono na kulturę? b) Jaki kąt środkowy ma wycinek odpowiadający służbie zdrowia? c) O ile procent więcej środków przeznaczono na edukację niż na transport?
W pewnej szkole przeprowadzono ankietę na temat ulubionych gatunków filmowych. Wyniki przedstawiono na diagramie słupkowym: Komedia - 120 głosów, Akcja - 90 głosów, Fantasy - 60 głosów, Sci-Fi - 30 głosów. a) Ilu uczniów wzięło udział w ankiecie? b) Jaki procent wszystkich głosów stanowiły głosy na filmy akcji? c) Gdyby te dane przedstawić na diagramie kołowym, jaki kąt miałby wycinek odpowiadający filmom fantasy?
Na podstawie danych z zadania 3, przedstaw wyniki na diagramie kołowym. (Narysuj go lub opisz kąty poszczególnych wycinków).
Diagram kołowy przedstawia rozkład ocen z matematyki na świadectwie: 5 - 20%, 4 - 35%, 3 - 40%, 2 - 5%. a) Jaki procent uczniów otrzymał ocenę 3 lub wyższą? b) Ile stopni ma kąt środkowy wycinka odpowiadającego ocenie niedostatecznej (której nie ma na diagramie, zakładamy 0%)? c) Jeśli w klasie jest 40 uczniów, ilu z nich otrzymało ocenę 4?
Poniższe dane przedstawiają sprzedaż lodów w budce w ciągu jednego dnia: [Diagram słupkowy: Lody waniliowe - 50 szt., Czekoladowe - 70 szt., Truskawkowe - 40 szt., Śmietankowe - 60 szt.] a) Ile sztuk lodów sprzedano łącznie? b) Jaki procent całej sprzedaży stanowiły lody truskawkowe? c) Na diagramie kołowym, jaki kąt miałby wycinek odpowiadający lodom czekoladowym?

a) 3 godziny. b) W czwartek (2.5h) i sobotę (3h). c) Suma godzin: $1.5 + 2 + 1 + 2.5 + 0.5 + 3 + 2 = 12.5$ godziny. Średnia: $\frac{12.5}{7} \approx 1.79$ godziny dziennie.
a) $20\% \text{ z } 80 \text{ mln zł} = \frac{20}{100} \cdot 80 = 0.2 \cdot 80 = 16$ mln zł. b) $30\% \text{ z } 360^\circ = \frac{30}{100} \cdot 360^\circ = 0.3 \cdot 360^\circ = 108^\circ$ . c) Na edukację: 40%, na transport: 10%. Różnica: $40\% - 10\% = 30\%$ .
a) Suma głosów: $120 + 90 + 60 + 30 = 300$ uczniów. b) $\frac{90}{300} \cdot 100\% = \frac{9}{30} \cdot 100\% = \frac{3}{10} \cdot 100\% = 30\%$ . c) Dane z III kwartału (Fantasy): 60 głosów. Całość: 300 głosów. Kąt: $\frac{60}{300} \cdot 360^\circ = \frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ$ .
Kąty na diagramie kołowym: Komedie: $\frac{120}{300} \cdot 360^\circ = \frac{2}{5} \cdot 360^\circ = 144^\circ$ . Akcja: $\frac{90}{300} \cdot 360^\circ = \frac{3}{10} \cdot 360^\circ = 108^\circ$ . Fantasy: $\frac{60}{300} \cdot 360^\circ = \frac{1}{5} \cdot 360^\circ = 72^\circ$ . Sci-Fi: $\frac{30}{300} \cdot 360^\circ = \frac{1}{10} \cdot 360^\circ = 36^\circ$ . Suma kątów: $144^\circ + 108^\circ + 72^\circ + 36^\circ = 360^\circ$ .
a) Udział ocen 3 i wyższych: $35\% (\text{ocena } 4) + 40\% (\text{ocena } 3) + 20\% (\text{ocena } 5) = 95\%$ . b) Kąt dla 0% to $0^\circ$ . c) $35\% \text{ z } 40 \text{ uczniów} = \frac{35}{100} \cdot 40 = 0.35 \cdot 40 = 14$ uczniów.
a) Suma sztuk: $50 + 70 + 40 + 60 = 220$ sztuk. b) $\frac{40}{220} \cdot 100\% = \frac{4}{22} \cdot 100\% = \frac{2}{11} \cdot 100\% \approx 18.18\%$ . c) Lody czekoladowe: 70 sztuk. Całość: 220 sztuk. Kąt: $\frac{70}{220} \cdot 360^\circ = \frac{7}{22} \cdot 360^\circ \approx 0.3182 \cdot 360^\circ \approx 114.55^\circ$ .

Jakie dwie główne rodzaje diagramów omawialiśmy?
Co reprezentuje pełne koło w diagramie kołowym?
Jak obliczyć kąt środkowy wycinka, jeśli znamy procentowy udział danej kategorii?
Jak obliczyć średnią arytmetyczną z danych przedstawionych na diagramie słupkowym?
Dlaczego ważne jest dokładne odczytywanie danych z osi diagramu?

Diagram słupkowy (ogólny schemat):

^ Liczba
|
|    +---+
|    |   |
|    |   | +---+
|    |   | |   |
| +---+  | |   | +---+
| |   |  | |   | |   |
+---------------------------> Kategoria
  Kat A    Kat B    Kat C

Diagram kołowy (ogólny schemat):

      /---\
     /     \
    /       \
   |---------|  <-- Środek koła
    \       /
     \     /
      \---/

Wycinki reprezentują udziały procentowe lub liczbowe.
Suma kątów wszystkich wycinków wynosi 360 stopni.

Diagramy słupkowe i kołowe na egzaminie ósmoklasisty

Na egzaminie

Mapa tematu

Definicje i wzory

Przykład 1 — podstawowy

Przykład 2 — maturalny

Przykład 3 — egzaminacyjny

Pułapki

Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania

Odpowiedzi

Szybka powtórka

Diagram

Diagramy słupkowe i kołowe

Diagramy słupkowe i kołowe na egzaminie ósmoklasisty

Na egzaminie

Mapa tematu

Definicje i wzory

Przykład 1 — podstawowy

Przykład 2 — maturalny

Przykład 3 — egzaminacyjny

Pułapki

Ćwiczenia do samodzielnego rozwiązania

Odpowiedzi

Szybka powtórka

Diagram