Mediana i dominanta

Temat mediany i dominanty pojawia się na egzaminie ósmoklasisty dość często, zazwyczaj jako zadanie otwarte wymagające obliczenia lub zinterpretowania tych wartości. Zwykle jedno zadanie na ten temat można spodziewać się w arkuszu, a jego punktacja wynosi 2-3 punkty. CKE lubi sprawdzać umiejętność wyznaczenia mediany dla danych nieuporządkowanych oraz dominanty w różnych zbiorach liczb, w tym w tabelach częstości. Ważne jest również zrozumienie, czym te miary opowiadają o zbiorze danych.

W trakcie tej lekcji opanujesz:

1. Definicję i znaczenie mediany w statystyce opisowej.
2. Metody obliczania mediany dla zbioru danych nieuporządkowanych o parzystej i nieparzystej liczbie elementów.
3. Definicję i znaczenie dominanty w statystyce opisowej.
4. Metody wyznaczania dominanty dla zbioru danych z powtarzającymi się wartościami.
5. Zrozumienie sytuacji, gdy mediana i dominanta mogą być takie same lub różne.
6. Umiejętność obliczania mediany i dominanty na podstawie danych przedstawionych w tabeli częstości.
7. Rozwiązywanie zadań tekstowych i problemów z życia codziennego wykorzystujących pojęcia mediany i dominanty.
8. Interpretację wyników obliczeń mediany i dominanty w kontekście analizowanego problemu.

• Średnia arytmetyczna: Suma wszystkich liczb w zbiorze podzielona przez ich liczbę. Jest to jedna z podstawowych miar tendencji centralnej, ale może być wrażliwa na wartości odstające (ekstremalne). $\text{Średnia} = \frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}$ gdzie $a_1, a_2, \dots, a_n$ to elementy zbioru, a $n$ to liczba elementów.

• Mediana: Wartość środkowa w zbiorze danych uporządkowanych rosnąco. Jest to miara mniej wrażliwa na wartości odstające niż średnia arytmetyczna.

  • Dla nieparzystej liczby danych ($n$ jest nieparzyste), mediana jest środkowym elementem po uporządkowaniu danych. Położenie mediany można obliczyć wzorem: $\frac{n+1}{2}$.
  • Dla parzystej liczby danych ($n$ jest parzyste), mediana jest średnią arytmetyczną dwóch środkowych elementów po uporządkowaniu danych. Położenie tych elementów to $\frac{n}{2}$ oraz $\frac{n}{2} + 1$.

• Dominanta (Moda): Wartość, która najczęściej występuje w zbiorze danych. Zbiór danych może mieć jedną dominantę (jednomodalny), dwie dominanty (bimodalny), więcej dominant (wielomodalny) lub nie mieć dominanty wcale (jeśli wszystkie wartości występują tak samo często).

• Tabela częstości: Tabela przedstawiająca poszczególne wartości danych oraz liczbę ich wystąpień (częstość).

  Przykład: | Wartość | Częstość | | :------ | :------- | | 2 | 3 | | 5 | 1 | | 8 | 4 |

  W powyższej tabeli wartość 2 występuje 3 razy, wartość 5 - 1 raz, a wartość 8 - 4 razy.

Zadanie: Oblicz medianę i dominantę dla następującego zbioru danych: 3, 7, 5, 3, 9, 5, 3, 1.

Rozwiązanie:

Krok 1. Uporządkowanie danych.** Najpierw porządkujemy dane rosnąco: 1, 3, 3, 3, 5, 5, 7, 9.

Krok 2. Wyznaczenie mediany.** W zbiorze mamy 8 liczb ($n=8$, liczba parzysta). Mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych liczb. Położenie tych liczb to $\frac{8}{2} = 4$ oraz $\frac{8}{2} + 1 = 5$. Czyli czwarty i piąty element zbioru uporządkowanego. Są to liczby: 3 (czwarty element) i 5 (piąty element). $\text{Mediana} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Krok 3. Wyznaczenie dominanty.** Teraz sprawdzamy, która liczba występuje najczęściej. 1 - występuje 1 raz 3 - występuje 3 razy 5 - występuje 2 razy 7 - występuje 1 raz 9 - występuje 1 raz Najczęściej występuje liczba 3 (3 razy). $\text{Dominanta} = 3$

Sprawdzenie: Dane uporządkowane: 1, 3, 3, 3, 5, 5, 7, 9. Mediana: $n=8$. Środkowe elementy to 4. i 5. (3 i 5). $\frac{3+5}{2}=4$. Poprawnie. Dominanta: Liczba 3 występuje 3 razy, co jest największą częstością. Poprawnie.

Zadanie: W klasie liczącej 25 uczniów przeprowadzono sprawdzian z matematyki. Uzyskano następujące wyniki (liczba punktów): 4, 3, 5, 4, 2, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 4, 3, 4, 4. Oblicz medianę i dominantę uzyskanych wyników.

Rozwiązanie:

Krok 1. Uporządkowanie danych.** Zbiór danych: 4, 3, 5, 4, 2, 4, 3, 1, 5, 4, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 3, 4, 5, 4, 3, 4, 4. Liczba uczniów (danych) $n=25$. Uporządkujmy dane: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5.

Krok 2. Wyznaczenie mediany.** Mamy $n=25$ (liczba nieparzysta). Mediana jest środkowym elementem. Jej położenie to $\frac{n+1}{2} = \frac{25+1}{2} = \frac{26}{2} = 13$. Szukamy 13. elementu w uporządkowanym zbiorze danych. 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5. Trzynastym elementem jest liczba 4. $\text{Mediana} = 4$

Krok 3. Wyznaczenie dominanty.** Aby łatwiej znaleźć dominantę, możemy policzyć częstość występowania każdej liczby lub stworzyć tabelę częstości:

• 1: występuje 1 raz
• 2: występuje 2 razy
• 3: występuje 7 razy
• 4: występuje 12 razy
• 5: występuje 4 razy

Najczęściej występuje liczba 4 (12 razy). $\text{Dominanta} = 4$

Alternatywnie, tworząc tabelę częstości:

| Wynik | Liczba uczniów (częstość) | | :---- | :------------------------ | | 1 | 1 | | 2 | 2 | | 3 | 7 | | 4 | 12 | | 5 | 4 | | Suma | 25 |

Największa częstość to 12, która odpowiada wynikowi 4. $\text{Dominanta} = 4$

Sprawdzenie: Dane uporządkowane: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5. Mediana: $n=25$, położenie $\frac{25+1}{2}=13$. 13. element to 4. Poprawnie. Dominanta: Liczymy częstości. 4 występuje 12 razy, co jest największą częstością. Poprawnie.

W tym przypadku mediana i dominanta są takie same.

Zadanie: W tabeli poniżej przedstawiono wiek grupy osób:

| Wiek | Liczba osób | | :--- | :---------- | | 10 | 2 | | 12 | 3 | | 15 | 1 | | 18 | 4 |

Oblicz medianę i dominantę wieku tych osób.

Rozwiązanie:

Krok 1. Wyznaczenie dominanty.** Dominanta to wartość najczęściej występująca. W tabeli widzimy, że największą liczbę osób (częstość) ma wiek 18 lat (4 osoby). $\text{Dominanta} = 18$

Krok 2. Wyznaczenie mediany.** Najpierw musimy ustalić, ile osób jest w sumie. Sumujemy liczby osób: $2 + 3 + 1 + 4 = 10$. Mamy $n=10$ (liczba parzysta). Mediana będzie średnią arytmetyczną dwóch środkowych osób. Położenie tych osób to $\frac{10}{2} = 5$ oraz $\frac{10}{2} + 1 = 6$. Szukamy 5. i 6. osoby w kolejności wiekowej.

Aby to zrobić, rozpisujemy dane z tabeli w kolejności rosnącej: Osoby w wieku 10 lat: 2 osoby (1., 2. pozycja) Osoby w wieku 12 lat: 3 osoby (3., 4., 5. pozycja) Osoby w wieku 15 lat: 1 osoba (6. pozycja) Osoby w wieku 18 lat: 4 osoby (7., 8., 9., 10. pozycja)

Pełny zapis: 10, 10, 12, 12, 12, 15, 18, 18, 18, 18. 5. osoba ma wiek 12 lat. 6. osoba ma wiek 15 lat.

$\text{Mediana} = \frac{12 + 15}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$

Sprawdzenie: Dominanta: Wiek 18 lat występuje najczęściej (4 razy). Poprawnie. Mediana: $n=10$. 5. i 6. pozycja. Dane: 10, 10, 12, 12, 12, 15, 18, 18, 18, 18. 5. to 12, 6. to 15. $\frac{12+15}{2}=13.5$. Poprawnie.

• Nieuporządkowanie danych przy obliczaniu mediany: Zapominanie o uporządkowaniu danych przed wyznaczeniem mediany. Przykład: dla zbioru 5, 1, 3, 7, 2, mediana nie jest 3, ale po uporządkowaniu (1, 2, 3, 5, 7) wynosi 3.
• Błąd w obliczeniu mediany dla parzystej liczby danych: Używanie tylko jednego środkowego elementu zamiast średniej dwóch środkowych elementów. Dla 1, 2, 3, 4, mediana to nie 2 czy 3, ale $\frac{2+3}{2}=2.5$.
• Brak dominanty lub wielokrotna dominanta: Z założenia dominanta jest JEDNĄ wartością najczęściej występującą. Jeśli wszystkie wartości występują tyle samo razy (np. 1, 2, 3, 4), zbiór nie ma dominanty. Jeśli dwie wartości występują najczęściej (np. 1, 1, 2, 2, 3), zbiór jest bimodalny i obie te wartości są dominantami (np. 1 i 2). Na egzaminie CKE zazwyczaj pojawiają się zbiory z jedną dominantą.
• Niepoprawne odczytanie danych z tabeli częstości: Szczególnie przy liczeniu sumy elementów lub wyznaczaniu pozycji elementów dla mediany. Trzeba pamiętać, że tabela częstości wymaga "rozpisania" danych w celu wyznaczenia pozycji mediany.

1. Oblicz medianę i dominantę dla zbioru danych: 7, 2, 9, 2, 5, 2, 8.

2. Znajdź medianę i dominantę dla następujących wyników testu: 80, 90, 70, 80, 100, 70, 80, 90, 80.

3. W sklepie sprzedano następującą liczbę batonów dziennie przez tydzień: 15, 12, 18, 15, 16, 15, 13. Oblicz medianę i dominantę dziennej sprzedaży.

4. Dane dotyczące wieku grupy dzieci: 6, 7, 6, 8, 7, 6, 9, 6, 7, 6. Oblicz medianę i dominantę wieku tych dzieci.

5. Dla zbioru danych: 1, 5, 2, 5, 3, 4, 5, 3, 2, 1. Podaj medianę i dominantę.

6. W tabeli przedstawiono wyniki zbiórki pieniędzy:

   | Zebrana kwota (zł) | Liczba uczniów | | :----------------- | :------------- | | 5 | 4 | | 10 | 6 | | 15 | 3 | | 20 | 2 |

   Oblicz medianę i dominantę zebranej kwoty.

1. Co to jest mediana i jak ją obliczyć dla nieparzystej liczby danych?
2. W jaki sposób oblicza się medianę dla parzystej liczby danych?
3. Czym jest dominanta i jakie są jej możliwe przypadki (jedna, wiele, brak)?
4. Która miara jest bardziej wrażliwa na wartości odstające: średnia arytmetyczna czy mediana?
5. Czy mediana i dominanta zawsze muszą być takie same? Uzasadnij.