Nierówności

Nierówności liniowe pojawiają się na maturze podstawowej stosunkowo często, zazwyczaj jako samodzielne zadania otwarte lub jako część zadań zamkniętych. Mają na celu sprawdzenie umiejętności rozwiązywania prostych równań, przekształcania ich oraz interpretacji wyników. Zadania te zazwyczaj można rozwiązać w kilku prostych krokach, a ich punktacja wynosi 1-2 punkty.

1. Rozumienie pojęcia nierówności i jej rozwiązania.
2. Rozwiązywanie podstawowych nierówności liniowych z jedną niewiadomą.
3. Wykonywanie działań na nierównościach (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie stronami).
4. Przekształcanie nierówności do prostszej postaci.
5. Reprezentacja rozwiązań nierówności na osi liczbowej.
6. Rozwiązywanie nierówności z nawiasami.
7. Rozwiązywanie nierówności z niewiadomą po obu stronach.
8. Rozwiązywanie prostych zadań tekstowych prowadzących do nierówności.

Nierówność to matematyczne wyrażenie stwierdzające, że dwie wielkości nie są sobie równe. Wyróżniamy cztery podstawowe typy nierówności:

• $a > b$ (a jest większe od b)
• $a < b$ (a jest mniejsze od b)
• $a \geq b$ (a jest większe lub równe b)
• $a \leq b$ (a jest mniejsze lub równe b)

Rozwiązaniem nierówności jest zbiór wszystkich liczb, dla których nierówność jest prawdziwa.

Podstawowe własności nierówności:

1. Dodawanie lub odejmowanie tej samej liczby do obu stron nierówności nie zmienia jej znaku. Jeśli $a > b$, to $a + c > b + c$ oraz $a - c > b - c$.
2. Mnożenie lub dzielenie obu stron nierówności przez tę samą liczbę dodatnią nie zmienia jej znaku. Jeśli $a > b$ i $c > 0$, to $a \cdot c > b \cdot c$ oraz $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$.
3. Mnożenie lub dzielenie obu stron nierówności przez tę samą liczbę ujemną zmienia jej znak na przeciwny. Jeśli $a > b$ i $c < 0$, to $a \cdot c < b \cdot c$ oraz $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.

Reprezentacja rozwiązań na osi liczbowej:

• Przedział otwarty $(a, b)$: liczby $x$ takie, że $a < x < b$. Na osi liczbowej zaznaczamy kółko niezamalowane nad liczbą $a$ i $b$ oraz kreskę między nimi.
• Przedział domknięty $[a, b]$: liczby $x$ takie, że $a \leq x \leq b$. Na osi liczbowej zaznaczamy kółko zamalowane nad liczbą $a$ i $b$ oraz kreskę między nimi.
• Przedział domknięty z jednej strony $[a, b)$: liczby $x$ takie, że $a \leq x < b$.
• Przedział otwarty z jednej strony $(a, b]$: liczby $x$ takie, że $a < x \leq b$.
• Półproste:
  • $(a, \infty)$: $x > a$
  • $[a, \infty)$: $x \geq a$
  • $(-\infty, a)$: $x < a$
  • $(-\infty, a]$: $x \leq a$

Na osi liczbowej kółko niezamalowane oznacza, że dana liczba nie należy do rozwiązania, a kółko zamalowane oznacza, że należy.

Rozwiąż nierówność: $2x - 5 \leq x + 3$.

Krok 1. Przenieś wszystkie wyrazy z niewiadomą $x$ na jedną stronę nierówności, a liczby na drugą. Pamiętaj o zmianie znaku przy przenoszeniu. $2x - x \leq 3 + 5$

Krok 2. Uprość obie strony nierówności. $x \leq 8$

Krok 3. Odczytaj rozwiązanie. Nierówność jest spełniona dla wszystkich liczb mniejszych lub równych 8.

Krok 4. Przedstaw rozwiązanie na osi liczbowej. Zaznaczamy liczbę 8. Ponieważ nierówność jest "mniejsze lub równe", kółko nad 8 jest zamalowane. Kierujemy strzałkę w lewo, w stronę mniejszych liczb.

<----[=====]----
     8

Rozwiązanie w postaci przedziału: $(-\infty, 8]$.

Sprawdzenie: Wybierzmy liczbę mniejszą lub równą 8, np. $x=0$: $2(0) - 5 \leq 0 + 3 \implies -5 \leq 3$ (prawda). Wybierzmy liczbę równą 8, np. $x=8$: $2(8) - 5 \leq 8 + 3 \implies 16 - 5 \leq 11 \implies 11 \leq 11$ (prawda). Wybierzmy liczbę większą od 8, np. $x=10$: $2(10) - 5 \leq 10 + 3 \implies 20 - 5 \leq 13 \implies 15 \leq 13$ (fałsz).

Rozwiąż nierówność: $3(x - 2) - 5(x + 1) > 2(x - 7) + 1$.

Krok 1. Pozbądź się nawiasów, mnożąc każdy wyraz w nawiasie przez liczbę stojącą przed nim. $3x - 6 - 5x - 5 > 2x - 14 + 1$

Krok 2. Zredukuj wyrazy podobne po obu stronach nierówności. $(3x - 5x) + (-6 - 5) > 2x + (-14 + 1)$ $-2x - 11 > 2x - 13$

Krok 3. Przenieś wszystkie wyrazy z niewiadomą $x$ na jedną stronę, a liczby na drugą. $-2x - 2x > -13 + 11$

Krok 4. Uprość obie strony nierówności. $-4x > -2$

Krok 5. Podziel obie strony przez liczbę stojącą przy $x$. Pamiętaj, że dzielisz przez liczbę ujemną (-4), więc musisz zmienić znak nierówności na przeciwny. $x < \frac{-2}{-4}$

Krok 6. Uprość wynik. $x < \frac{1}{2}$

Krok 7. Przedstaw rozwiązanie w postaci przedziału i na osi liczbowej. Rozwiązanie to wszystkie liczby mniejsze od $\frac{1}{2}$. Przedział: $(-\infty, \frac{1}{2})$. Na osi liczbowej: kółko niezamalowane nad $\frac{1}{2}$, strzałka w lewo.

<----o----------
     1/2

Rozwiąż nierówność $2x + 3 < 11$. Wskaż poprawny przedział rozwiązań: A. $(-\infty, 4)$ B. $(-\infty, 7)$ C. $(4, \infty)$ D. $[4, \infty)$

Krok 1. Odejmij 3 od obu stron: $2x < 8$.

Krok 2. Podziel obie strony przez dodatnią liczbę 2. Znak nierówności pozostaje bez zmian: $x < 4$.

Krok 3. Zapisz rozwiązanie w postaci przedziału: $x \in (-\infty, 4)$.

Poprawna odpowiedź to A. Pozostałe przedziały mają inną granicę albo wskazują liczby większe od 4.

• Zmiana znaku nierówności: Najczęstszy błąd to zapominanie o zmianie znaku nierówności przy mnożeniu lub dzieleniu obu stron przez liczbę ujemną. Zawsze zwracaj na to uwagę.
• Przenoszenie wyrazów: Błąd w zmianie znaku podczas przenoszenia wyrazów z jednej strony na drugą. Pamiętaj, że $a - b < 0$ jest równoważne $a < b$.
• Zaznaczanie na osi liczbowej: Mylenie kółek zamalowanych (dla $\geq, \leq$) z niezamalowanymi (dla $>, <$) lub niewłaściwe określenie kierunku przedziału (strzałki).
• Rozwiązywanie układu nierówności: Szukanie sumy zamiast części wspólnej rozwiązań (gdy występują oba warunki typu ORAZ). Jeśli są połączone słowem "lub", szukamy sumy. W przypadku nierówności liniowych zazwyczaj pojawia się warunek "i" (część wspólna).

1. Rozwiąż nierówność: $4x + 7 > 2x - 1$. Podaj odpowiedź w postaci przedziału.
2. Rozwiąż nierówność: $3 - x \leq 5$. Podaj odpowiedź w postaci przedziału.
3. Rozwiąż nierówność: $2(x - 3) + 1 \geq 3(x + 2) - 4$. Podaj rozwiązanie jako przedział na osi liczbowej.
4. Znajdź wszystkie liczby całkowite spełniające nierówność: $-2 < x \leq 5$.
5. Rozwiąż nierówność: $\frac{x}{2} - 1 < \frac{x}{3} + 2$.
6. Zbiór rozwiązań nierówności $2x + 5 > 1$ jest identyczny ze zbiorem rozwiązań nierówności: A. $x > -2$ B. $x < -2$ C. $x > 2$ D. $x < 2$
7. Rozwiąż nierówność: $1 - 3x \geq 7 - x$.

1. Jakie są cztery podstawowe znaki nierówności?
2. Co się dzieje ze znakiem nierówności, gdy mnożymy obie strony przez liczbę ujemną?
3. Czym różni się przedział otwarty od domkniętego na osi liczbowej?
4. Jakie jest rozwiązanie nierówności $x \geq 5$?
5. Czy liczba 3 należy do przedziału $(-3, 3)$?