Równania liniowe

Równania liniowe to fundament matury podstawowej — pojawiają się w prawie każdym arkuszu: jako samodzielne zadanie otwarte (2–3 pkt), element układu równań albo krok w zadaniu tekstowym. CKE sprawdza: przekształcanie, ułamki, nawiasy, interpretację wyniku (brak / jeden / nieskończenie wiele rozwiązań).

W tej lekcji przejdziesz przez:

1. Postać równania i pojęcie rozwiązania
2. Zasady równoważności (co wolno robić z obiema stronami)
3. Równania z ułamkami i nawiasami
4. Interpretację wyniku (sprzeczne / tożsamościowe)
5. Zadania maturalne krok po kroku
6. Ćwiczenia z odpowiedziami

Równanie liniowe z jedną niewiadomą:

Rozwiązanie to liczba $x_0$, która po podstawieniu daje prawdziwą równość.

Wzór (gdy $a \neq 0$):

Zasady równoważności:

• dodaj lub odejmij tę samą liczbę po obu stronach
• pomnóż lub podziel obie strony przez tę samą liczbę $\neq 0$
• rozwijaj nawiasy przed przenoszeniem wyrazów

Typy równań po uproszczeniu: | Postać | Rozwiązań | |--------|-----------| | $x = \text{liczba}$ | dokładnie jedno | | $0 = 0$ | nieskończenie wiele | | $0 = 5$ | brak |

Rozwiąż: $5x - 3 = 2x + 9$

Krok 1. Przenieś wyrazy z $x$ na lewą: $5x - 2x = 9 + 3$

Krok 2. Redukuj: $3x = 12$

Krok 3. Dziel przez 3: $x = 4$

Sprawdzenie: L: $5 \cdot 4 - 3 = 17$, P: $2 \cdot 4 + 9 = 17$ ✓

Rozwiąż: $\dfrac{2x - 1}{3} = \dfrac{x + 4}{2}$

Krok 1. NWW(3, 2) = 6. Mnożymy obie strony przez 6:

$2(2x - 1) = 3(x + 4)$

Krok 2. $4x - 2 = 3x + 12$

Krok 3. $x = 14$

Sprawdzenie: $\dfrac{27}{3} = 9$, $\dfrac{18}{2} = 9$ ✓

Rozwiąż: $3(x - 2) + 5 = 2(x + 1) - 1$

Krok 1. $3x - 6 + 5 = 2x + 2 - 1$

Krok 2. $3x - 1 = 2x + 1$

Krok 3. $x = 2$

Pierwsza liczba jest o 12 większa od drugiej. Ich suma wynosi 48. Znajdź obie liczby.

Krok 1. Niech $x$ — mniejsza liczba. Większa: $x + 12$.

Krok 2. Równanie: $x + (x + 12) = 48$

Krok 3. $2x + 12 = 48 \Rightarrow 2x = 36 \Rightarrow x = 18$

Odpowiedź: liczby 18 i 30.

• Znak przy przenoszeniu — $-3x$ na drugą stronę daje $+3x$, nie $-3x$
• Dzielenie przez wyrażenie z $x$ — możesz stracić rozwiązanie; bezpieczniej przekształcaj algebraicznie
• Ułamki — mnoż przez NWW całego równania, nie pojedynczych wyrazów
• $0 = 0$ — to nie „$x = 0$”, tylko nieskończenie wiele rozwiązań
• Sprawdzenie — 10 sekund i unikasz utraty punktów za literówkę

1. $7x + 5 = 26$
2. $4x - 3 = 2x + 11$
3. $\dfrac{x}{2} + 3 = \dfrac{x}{3} + 5$
4. $2(x + 4) = 3(x - 1)$
5. Cena $x$ zł po podwyżce o 15% wynosi 230 zł. Zapisz równanie i znajdź $x$.
6. Czy $x = 3$ spełnia $2(x - 1) = x + 2$? (L: 4, P: 5)
7. Ile rozwiązań ma $2x + 4 = 2(x + 2)$?

1. Wymień dwie zasady równoważności.
2. Jak rozpoznać równanie sprzeczne?
3. Dlaczego warto sprawdzać wynik podstawieniem?
4. Co zrobić, gdy w równaniu są ułamki?
5. Jaka jest postać ogólna równania liniowego?