Wyrażenia algebraiczne

Wyrażenia algebraiczne pojawiają się na maturze z matematyki na poziomie podstawowym bardzo często, zarówno w zadaniach zamkniętych, jak i otwartych. Zazwyczaj dotyczą one upraszczania wyrażeń, działań na nich (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie), lub wykorzystania ich w zadaniach tekstowych i geometrycznych. Poprawne opanowanie tego działu pozwoli zdobyć od kilku do kilkunastu punktów. CKE często sprawdza umiejętność sprowadzenia wyrażenia do najprostszej postaci, a także stosowanie wzorów skróconego mnożenia.

Po przerobieniu tej lekcji będziesz potrafił:

1. Definiować wyrażenia algebraiczne i rozpoznawać ich elementy (zmienne, stałe, współczynniki).
2. Dodawać i odejmować sumy algebraiczne.
3. Mnożyć sumy algebraiczne przez jednomian i przez sumę algebraiczną.
4. Dzielić sumy algebraiczne przez jednomian.
5. Stosować wzory skróconego mnożenia do przekształcania wyrażeń.
6. Upraszczać złożone wyrażenia algebraiczne.
7. Rozwiązywać proste zadania tekstowe z wykorzystaniem wyrażeń algebraicznych.
8. Rozpoznawać i wykorzystywać podobieństwo wyrazów w wyrażeniach algebraicznych.

• Wyrażenie algebraiczne to takie, które zawiera liczby, litery (zmienne), symbole działań matematycznych (+, -, $\cdot$, :), nawiasy oraz potęgi.

  • Wyraz algebraiczny (monom): Jednoelementowe wyrażenie algebraiczne, będące iloczynem liczb i zmiennych podniesionych do pewnych potęg. Np.: $3x$, $-5y^2$, $\frac{1}{2}ab$, $7$.
  • Współczynnik: Liczba stojąca przed zmienną (lub zmiennymi) w wyrazie algebraicznym. Np. we wzorach $3x$, $-5y^2$, $\frac{1}{2}ab$, współczynnikami są odpowiednio $3$, $-5$, $\frac{1}{2}$. W wyrazie $x$ współczynnikiem jest $1$, a w $-y$ jest $-1$.
  • Część zmienna: Litery występujące w wyrazie algebraicznym. Np. w $3x$ częścią zmienną jest $x$, w $-5y^2$ jest $y^2$, w $\frac{1}{2}ab$ jest $ab$.
  • Wyraz wolny: Wyraz algebraiczny, który nie zawiera żadnej zmiennej (jest liczbą). Np. w wyrażeniu $2x + 5$, wyrazem wolnym jest $5$.

• Suma algebraiczna: Wyrażenie algebraiczne będące sumą lub różnicą jednomianów. Np.: $2x + 3y$, $5a - 2b + 7$.

  • Wyrazy podobne: Wyrazy w sumie algebraicznej, które mają tę samą część zmienną (z tymi samymi potęgami). Np. w sumie $3x^2 + 5y - 2x^2 + 7$, wyrazy podobne to $3x^2$ i $-2x^2$.

• Działania na wyrażeniach algebraicznych:

  • Dodawanie i odejmowanie: Możemy dodawać i odejmować tylko wyrazy podobne.
    • $ax + bx = (a+b)x$
    • $ax - bx = (a-b)x$
    • $ax + by + cx + dy = (a+c)x + (b+d)y$
  • Mnożenie przez jednomian: Mnożymy każdy składnik sumy przez ten jednomian.
    • $a(b+c) = ab + ac$
    • $a(b-c) = ab - ac$
  • Mnożenie sum algebraicznych: Mnożymy każdy składnik pierwszej sumy przez każdy składnik drugiej sumy.
    • $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
  • Dzielenie przez jednomian: Dzielimy każdy składnik sumy przez ten jednomian (jeśli jest to możliwe).
    • $\frac{a+b}{c} = \frac{a}{c} + \frac{b}{c}$ (gdzie $c \neq 0$)

• Wzory skróconego mnożenia (kluczowe na maturze!):

  • Kwadrat sumy: $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
  • Kwadrat różnicy: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
  • Różnica kwadratów: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$

Uprość wyrażenie algebraiczne: $5(x - 2y) - 3(2x + y) + 4y$.

Krok 1. Opuszczamy pierwsze nawiasy, mnożąc $5$ przez każdy składnik w nawiasie: $5(x - 2y) = 5 \cdot x - 5 \cdot 2y = 5x - 10y$

Krok 2. Opuszczamy drugie nawiasy, mnożąc $-3$ przez każdy składnik w nawiasie: $-3(2x + y) = -3 \cdot 2x + (-3) \cdot y = -6x - 3y$

Krok 3. Zapisujemy całe wyrażenie po opuszczeniu nawiasów: $5x - 10y - 6x - 3y + 4y$

Krok 4. Grupujemy i dodajemy (odejmujemy) wyrazy podobne. Wyrazy z $x$: $5x$ i $-6x$. Wyrazy z $y$: $-10y$, $-3y$ i $4y$. $(5x - 6x) + (-10y - 3y + 4y)$

Krok 5. Wykonujemy działania w grupach: $(5-6)x + (-10-3+4)y = -1x + (-9)y = -x - 9y$

Sprawdzenie: Przyjmijmy $x=1$, $y=2$. Oryginalne wyrażenie: $5(1 - 2 \cdot 2) - 3(2 \cdot 1 + 2) + 4 \cdot 2 = 5(1 - 4) - 3(2 + 2) + 8 = 5(-3) - 3(4) + 8 = -15 - 12 + 8 = -19$. Uproszczone wyrażenie: $-x - 9y = -1 - 9 \cdot 2 = -1 - 18 = -19$. Wyniki są zgodne.

Uprość wyrażenie: $(\frac{1}{2}a - 3b)^2 - (\frac{1}{2}a + 3b)(\frac{1}{2}a - 3b)$.

Krok 1. Rozpoznajemy wzory skróconego mnożenia. Pierwszy człon to kwadrat różnicy $(a-b)^2$, gdzie $a = \frac{1}{2}a$ i $b = 3b$. Drugi człon to różnica kwadratów $a^2 - b^2$, gdzie $a = \frac{1}{2}a$ i $b = 3b$.

Krok 2. Stosujemy wzór na kwadrat różnicy do pierwszego członu: $(\frac{1}{2}a - 3b)^2 = (\frac{1}{2}a)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (3b) + (3b)^2 = \frac{1}{4}a^2 - 3ab + 9b^2$

Krok 3. Stosujemy wzór na różnicę kwadratów do drugiego członu. Pamiętamy, że całe wyrażenie jest odejmowane, więc stosujemy nawiasy: $(\frac{1}{2}a + 3b)(\frac{1}{2}a - 3b) = (\frac{1}{2}a)^2 - (3b)^2 = \frac{1}{4}a^2 - 9b^2$

Krok 4. Podstawiamy obliczone wyrażenia z powrotem do oryginalnego równania i opuszczamy nawiasy, pamiętając o zmianie znaków przy drugim członie: $(\frac{1}{4}a^2 - 3ab + 9b^2) - (\frac{1}{4}a^2 - 9b^2) = \frac{1}{4}a^2 - 3ab + 9b^2 - \frac{1}{4}a^2 + 9b^2$

Krok 5. Grupujemy i dodajemy (odejmujemy) wyrazy podobne: $(\frac{1}{4}a^2 - \frac{1}{4}a^2) - 3ab + (9b^2 + 9b^2)$

Krok 6. Obliczamy wynik: $0 - 3ab + 18b^2 = -3ab + 18b^2$

Sprawdzenie: Przyjmijmy $a=2$, $b=1$. Oryginalne wyrażenie: $(\frac{1}{2}\cdot 2 - 3\cdot 1)^2 - (\frac{1}{2}\cdot 2 + 3\cdot 1)(\frac{1}{2}\cdot 2 - 3\cdot 1) = (1 - 3)^2 - (1 + 3)(1 - 3) = (-2)^2 - (4)(-2) = 4 - (-8) = 4 + 8 = 12$. Uproszczone wyrażenie: $-3ab + 18b^2 = -3\cdot 2\cdot 1 + 18\cdot 1^2 = -6 + 18 = 12$. Wyniki są zgodne.

Pole prostokąta wynosi $P = 6x^2 + 7x - 3$. Jednym z boków tego prostokąta jest dwumian $2x+3$. Wyznacz długość drugiego boku.

Krok 1. Wiemy, że pole prostokąta jest iloczynem długości jego boków. Oznaczmy długości boków jako $a$ i $b$. Wtedy $P = a \cdot b$. W tym zadaniu mamy dane pole $P = 6x^2 + 7x - 3$ i jeden z boków, np. $a = 2x+3$. Musimy znaleźć drugi bok, $b$.

Krok 2. Zapisujemy równanie: $(2x+3) \cdot b = 6x^2 + 7x - 3$.

Krok 3. Aby znaleźć $b$, musimy podzielić pole przez długość znanego boku: $b = \frac{6x^2 + 7x - 3}{2x+3}$. Możemy wykonać to dzielenie pisemne lub spróbować rozłożyć licznik na czynniki. Spróbujmy rozłożyć trójmian kwadratowy $6x^2 + 7x - 3$ na czynniki. Poszukujemy dwóch liczb, których iloczyn wynosi $6 \cdot (-3) = -18$, a suma $7$. Takimi liczbami są $9$ i $-2$. $6x^2 + 7x - 3 = 6x^2 + 9x - 2x - 3$

Krok 4. Grupowanie wyrazów w rozłożonym liczniku: $6x^2 + 9x - 2x - 3 = 3x(2x+3) - 1(2x+3)$

Krok 5. Wyłączamy wspólny czynnik $(2x+3)$: $(3x-1)(2x+3)$

Krok 6. Podstawiamy rozłożony licznik z powrotem do wzoru na $b$: $b = \frac{(3x-1)(2x+3)}{2x+3}$

Krok 7. Skracamy wspólny czynnik $(2x+3)$ (zakładając, że $2x+3 \neq 0$): $b = 3x-1$

Odpowiedź: Długość drugiego boku wynosi $3x-1$.

Sprawdzenie: Mnożymy znalezione boki: $(2x+3)(3x-1) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot (-1) + 3 \cdot 3x + 3 \cdot (-1) = 6x^2 - 2x + 9x - 3 = 6x^2 + 7x - 3$. Jest to pole $P$, więc rozwiązanie jest poprawne.

• Znaki przy odejmowaniu nawiasów: Zapomnienie o zmianie znaków wszystkich wyrazów w nawiasie, który jest odejmowany. Np. $a - (b+c)$ to $a - b - c$, a nie $a - b + c$.
• Mylenie wzorów skróconego mnożenia: Szczególnie przy $(a+b)^2$ i $(a-b)^2$. Pamiętaj o środkowym wyrazie $2ab$ i jego znaku.
• Potęgowanie ułamków i iloczynów: Przy potęgowaniu np. $(\frac{1}{2}a)^2$, trzeba podnieść do kwadratu zarówno $\frac{1}{2}$, jak i $a$, co daje $\frac{1}{4}a^2$. Podobnie przy $(-3b)^2$ otrzymujemy $9b^2$, a nie $-9b^2$.
• Niedopisywanie potęg: Przy mnożeniu $x \cdot x$ często zapomina się o potędze i pisze $2x$ zamiast $x^2$. Podobnie $x \cdot x^2 = x^3$, a nie $x^2$.
• Błędy rachunkowe: Proste pomyłki w dodawaniu lub odejmowaniu liczb, zwłaszcza przy ujemnych.

1. Uprość wyrażenie: $2(3a - b) + 4(a + 2b) - 5a$.
2. Oblicz i uprość: $(x - 4)(x + 3)$.
3. Zastosuj wzory skróconego mnożenia: $(2m - 3n)^2$.
4. Zastosuj wzory skróconego mnożenia: $9p^2 - 4q^2$.
5. Uprość złożone wyrażenie: $5(x-1)^2 - 2(x+3)(x-3)$.
6. Długość jednego boku prostokąta wynosi $x+2$, a drugiego $3x-1$. Oblicz pole tego prostokąta.
7. Wyrażenie $4x^2 - 9$ można zapisać jako iloczyn dwóch dwumianów. Podaj ten iloczyn.

1. Jakie są wyrazy podobne w wyrażeniu $3x^2 - 5x + 2x^2 + 7$?
2. Jaka jest zasada dodawania i odejmowania sum algebraicznych?
3. Wymień dwa podstawowe wzory skróconego mnożenia.
4. Co otrzymasz, mnożąc $a(b+c)$?
5. Co oznacza symbol $a^2$ w kontekście wyrażeń algebraicznych?

       +-----------------------+
       |   WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE  |
       +-----------+-----------+
                   |
      +------------+------------+
      |                         |
+-----+------+           +------+-----+
|   Jednomiany   |           |  Suma algebraiczna  |
+-----+------+           +------+-----+
      |                         |
  Współczynnik,           Wyrazy podobne,
  Część zmienna           Dodawanie/Odejmowanie

+---------------------+
|   Działania:        |
| - Dodawanie/Odejm.  |
| - Mnożenie (przez   |
|   jednomian/sumę)   |
| - Dzielenie (przez  |
|   jednomian)        |
+---------------------+
      |
+---------------------+
| Wzory skróconego    |
| mnożenia:           |
| - (a+b)^2           |
| - (a-b)^2           |
| - a^2 - b^2         |
+---------------------+