Wzory skróconego mnożenia

Wzory skróconego mnożenia pojawiają się na maturze podstawowej bardzo często, zazwyczaj w zadaniach otwartych, ale także jako element trudniejszych zadań zamkniętych. Punkty można zdobyć za zastosowanie wzorów do upraszczania wyrażeń, rozwiązywania równań lub dowodzenia tożsamości. CKE lubi sprawdzać umiejętność rozpoznawania i poprawnego stosowania podstawowych wzorów: kwadrat sumy, kwadrat różnicy oraz różnica kwadratów.

1. Przypomnienie mnożenia dwumianów.
2. Wzór na kwadrat sumy: $(a+b)^2$.
3. Wzór na kwadrat różnicy: $(a-b)^2$.
4. Wzór na różnicę kwadratów: $(a-b)(a+b)$.
5. Rozpoznawanie wzorów w wyrażeniach.
6. Zastosowanie wzorów do upraszczania wyrażeń algebraicznych.
7. Zastosowanie wzorów do rozwiązywania równań.
8. Przykłady zadań maturalnych z wykorzystaniem wzorów skróconego mnożenia.

• Dwumian to suma lub różnica dwóch jednomianów, np. $a+b$, $3x-5$.

• Mnożenie dwumianów: Aby pomnożyć dwa dwumiany, mnożymy każdy wyraz pierwszego dwumianu przez każdy wyraz drugiego dwumianu, a następnie redukujemy wyrazy podobne. $(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$

• Wzór na kwadrat sumy: $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

  • "Pierwszy wyraz do kwadratu, plus dwa razy pierwszy wyraz razy drugi wyraz, plus drugi wyraz do kwadratu".

• Wzór na kwadrat różnicy: $(a-b)^2 = (a-b)(a-b) = a^2 - ab - ba + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

  • "Pierwszy wyraz do kwadratu, minus dwa razy pierwszy wyraz razy drugi wyraz, plus drugi wyraz do kwadratu".

• Wzór na różnicę kwadratów: $(a-b)(a+b) = a^2 + ab - ba - b^2 = a^2 - b^2$.

  • "Iloczyn sumy i różnicy dwóch wyrażeń jest równy różnicy kwadratów tych wyrażeń".

• Kwadraty sumy i różnicy z nawiasami:

  • $(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.
  • $(5-y)^2 = 5^2 - 2 \cdot 5 \cdot y + y^2 = 25 - 10y + y^2$.
  • $(\frac{1}{2}a - 3b)^2 = (\frac{1}{2}a)^2 - 2 \cdot (\frac{1}{2}a) \cdot (3b) + (3b)^2 = \frac{1}{4}a^2 - 3ab + 9b^2$.

• Różnica kwadratów z nawiasami:

  • $(3x-2y)(3x+2y) = (3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2$.
  • $(7a+1)(7a-1) = (7a)^2 - 1^2 = 49a^2 - 1$.

Uprość wyrażenie $(3x+2)^2 - (x-1)(x+1)$.

Krok 1. Rozwiń pierwszy człon $(3x+2)^2$ korzystając ze wzoru na kwadrat sumy $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Tutaj $a = 3x$ i $b = 2$. $(3x+2)^2 = (3x)^2 + 2 \cdot (3x) \cdot 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4$.

Krok 2. Rozwiń drugi człon $(x-1)(x+1)$ korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Tutaj $a = x$ i $b = 1$. $(x-1)(x+1) = x^2 - 1^2 = x^2 - 1$.

Krok 3. Podstaw rozwinięte wyrażenia z powrotem do oryginalnego wyrażenia. Pamiętaj o nawiasach przy drugim członie, ponieważ jest on odejmowany. Wyrażenie przyjmuje postać: $(9x^2 + 12x + 4) - (x^2 - 1)$.

Krok 4. Usuń nawiasy. Pamiętaj o zmianie znaków w drugim nawiasie, ponieważ poprzedza go minus. $9x^2 + 12x + 4 - x^2 + 1$.

Krok 5. Zredukuj wyrazy podobne (połącz $x^2$ z $x^2$ i stałe z stałymi). $(9x^2 - x^2) + 12x + (4 + 1) = 8x^2 + 12x + 5$.

Sprawdzenie: Możemy sprawdzić dla konkretnej wartości, np. $x=2$. Oryginalne wyrażenie: $(3 \cdot 2 + 2)^2 - (2-1)(2+1) = (6+2)^2 - (1)(3) = 8^2 - 3 = 64 - 3 = 61$. Uproszczone wyrażenie: $8 \cdot 2^2 + 12 \cdot 2 + 5 = 8 \cdot 4 + 24 + 5 = 32 + 24 + 5 = 61$. Wyniki są takie same, więc uproszczenie jest poprawne.

Rozwiąż równanie $4x^2 - 9 = (2x-3)(x+1)$.

Krok 1. Zauważ, że lewa strona równania ($4x^2 - 9$) jest różnicą kwadratów. Zapisz ją w postaci iloczynu. $4x^2 = (2x)^2$ i $9 = 3^2$. Zatem $4x^2 - 9 = (2x)^2 - 3^2 = (2x-3)(2x+3)$.

Krok 2. Zapisz równanie z użyciem rozłożonej lewej strony. $(2x-3)(2x+3) = (2x-3)(x+1)$.

Krok 3. Przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę, aby otrzymać równanie w postaci $W(x) = 0$. $(2x-3)(2x+3) - (2x-3)(x+1) = 0$.

Krok 4. Wyłącz wspólny czynnik przed nawias. Wspólnym czynnikiem jest $(2x-3)$. $(2x-3) [ (2x+3) - (x+1) ] = 0$.

Krok 5. Uprość wyrażenie w drugim nawiasie. Pamiętaj o zmianie znaków. $(2x-3) [ 2x+3 - x - 1 ] = 0$. $(2x-3) [ x + 2 ] = 0$.

Krok 6. Zastosuj zasadę zerowego iloczynu. Iloczyn jest równy zero, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zero. $2x-3 = 0$ lub $x+2 = 0$.

Krok 7. Rozwiąż każde z powstałych równań liniowych. Z $2x-3 = 0$ otrzymujemy $2x = 3$, czyli $x = \frac{3}{2}$. Z $x+2 = 0$ otrzymujemy $x = -2$.

Rozwiązania równania to $x = \frac{3}{2}$ oraz $x = -2$.

Uprość wyrażenie $(a+2b)^2 - (a-2b)^2$.

Krok 1. Zastosuj wzór na kwadrat sumy do pierwszego nawiasu: $(a+2b)^2$. Tutaj $a$ jest $a$, a $b$ jest $2b$. $(a+2b)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$.

Krok 2. Zastosuj wzór na kwadrat różnicy do drugiego nawiasu: $(a-2b)^2$. Tutaj $a$ jest $a$, a $b$ jest $2b$. $(a-2b)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot (2b) + (2b)^2 = a^2 - 4ab + 4b^2$.

Krok 3. Podstaw rozwinięte wyrażenia do oryginalnego wyrażenia i odejmij je. Pamiętaj o nawiasach. $(a^2 + 4ab + 4b^2) - (a^2 - 4ab + 4b^2)$.

Krok 4. Usuń nawiasy, pamiętając o zmianie znaków dla wyrazów w drugim nawiasie. $a^2 + 4ab + 4b^2 - a^2 + 4ab - 4b^2$.

Krok 5. Zredukuj wyrazy podobne. $(a^2 - a^2) + (4ab + 4ab) + (4b^2 - 4b^2) = 0 + 8ab + 0 = 8ab$.

Uproszczone wyrażenie to $8ab$.

Alternatywne rozwiązanie (wykorzystanie różnicy kwadratów): Zauważ, że całe wyrażenie ma postać $X^2 - Y^2$, gdzie $X = (a+2b)$ i $Y = (a-2b)$. Możemy zastosować wzór na różnicę kwadratów: $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$. $X-Y = (a+2b) - (a-2b) = a+2b - a + 2b = 4b$. $X+Y = (a+2b) + (a-2b) = a+2b + a - 2b = 2a$. Zatem $(X-Y)(X+Y) = (4b)(2a) = 8ab$. Obie metody dają ten sam wynik.

• Błąd znaku przy kwadracie różnicy: Wzór na $(a-b)^2$ to $a^2 - 2ab + b^2$. Częstym błędem jest zapominanie o plusie przy $b^2$ lub mylenie znaku przy $2ab$ z minusem po obu stronach.
• Nieprawidłowe podnoszenie do kwadratu jednomianów: Przy stosowaniu wzorów, gdy członem jest jednomian np. $2x$ lub $3b$, trzeba pamiętać o podniesieniu do kwadratu zarówno współczynnika liczbowego, jak i zmiennej, np. $(2x)^2 = 4x^2$, a nie $2x^2$. Podobnie $(3b)^2 = 9b^2$.
• Brak nawiasów przy odejmowaniu: Przy odejmowaniu rozwiniętego wzoru, np. $(a+b)^2 - (c+d)^2$, należy wstawić nawiasy wokół drugiego rozwinięcia i pamiętać o zmianie znaków wszystkich wyrazów po usunięciu nawiasu, np. $-(c^2+2cd+d^2) = -c^2-2cd-d^2$.
• Błędy przy różnicy kwadratów: Wzór $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Nie należy mylić z $(a-b)^2$ ani $(a+b)^2$. Poprawne zastosowanie wymaga, aby po jednej stronie nawiasu była suma, a po drugiej różnica tych samych dwóch wyrażeń.

1. Rozwiń wyrażenie $(4a-3b)^2$.
2. Uprość wyrażenie $(x+5)(x-5) - x(x+2)$.
3. Oblicz wartość wyrażenia $(2018+2017)(2018-2017)$.
4. Rozwiąż równanie $9y^2 - 1 = (3y-1)(y+2)$.
5. Zapisz w prostszej postaci $(2x+1)^2 + (2x-1)^2$.
6. Sprawdź, czy tożsamość $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ jest prawdziwa dla $x=5$ i $y=3$.
7. Uprość wyrażenie $(a+b)^2 - (a-b)^2$.

1. Jaki jest wzór na kwadrat sumy dwóch wyrażeń $a$ i $b$?
2. Jaki jest wzór na różnicę kwadratów dwóch wyrażeń $a$ i $b$?
3. Czy $(2x)^2$ jest równe $2x^2$? Uzasadnij.
4. Jakie są rozwiązania równania $(x-5)(x+3)=0$?
5. Jaki jest wynik uproszczenia wyrażenia $(a+b)^2 - (a-b)^2$?

       Wzory skróconego mnożenia
             /      |      \
      (a+b)^2    (a-b)^2   (a-b)(a+b)
      =a²+2ab+b² =a²-2ab+b² =a²-b²
          |          |          |
      Rozwijanie   Rozwijanie  Rozwijanie
      kwadratu    kwadratu     iloczynu
        sumy       różnicy    sumy i różnicy