Odczyt wykresu funkcji

Zadania dotyczące odczytu wykresu funkcji pojawiają się na maturze z matematyki na poziomie podstawowym regularnie, zwykle w arkuszu zamkniętym, rzadziej w otwartym. Zazwyczaj są to zadania proste, warte 1-2 punkty. CKE często sprawdza umiejętność odczytywania wartości funkcji dla podanego argumentu (szczególnie dla punktów charakterystycznych, jak wierzchołek paraboli, punkty przecięcia z osiami) oraz znajdowania argumentów dla danej wartości funkcji. Analizuje się również własności funkcji (monotoniczność, miejsca zerowe, wartości ekstremalne) na podstawie jej wykresu.

Po przerobieniu tej lekcji będziesz potrafił:

1. Odczytać wartość funkcji $f(x)$ dla danego argumentu $x$ z wykresu.
2. Odczytać argument $x$ dla danej wartości funkcji $f(x)$ z wykresu.
3. Określić miejsca zerowe funkcji na podstawie jej wykresu.
4. Odczytać dziedzinę i zbiór wartości funkcji z wykresu.
5. Określić przedziały monotoniczności (rosnąca, malejąca, stała) funkcji na podstawie jej wykresu.
6. Odczytać wartości maksymalne i minimalne funkcji na danym przedziale.
7. Rozpoznawać wykresy podstawowych funkcji (liniowa, kwadratowa, stała) na podstawie ich charakterystycznych cech.

• Funkcja: Przyporządkowanie, które każdemu elementowi ze zbioru dziedziny przypisuje dokładnie jeden element ze zbioru wartości. Wykres funkcji $y = f(x)$ to zbiór wszystkich punktów $(x, y)$ na płaszczyźnie kartezjańskiej, dla których $y = f(x)$.
• Argument (dziedzina): Wartości zmiennej $x$, dla których funkcja jest określona. Na wykresie dziedzina jest zbiorem współrzędnych $x$ wszystkich punktów należących do wykresu.
• Wartość funkcji (zbiór wartości): Wartości $y$, jakie funkcja przyjmuje. Na wykresie zbiór wartości to zbiór współrzędnych $y$ wszystkich punktów należących do wykresu.
• Miejsce zerowe: Argument $x$, dla którego wartość funkcji wynosi 0, czyli $f(x) = 0$. Na wykresie miejsca zerowe to współrzędne $x$ punktów, w których wykres przecina oś $Ox$.
• Funkcja rosnąca: Funkcja, która dla $x_1 < x_2$ przyjmuje wartości $f(x_1) < f(x_2)$. Na wykresie funkcja "idzie w górę" od lewej do prawej.
• Funkcja malejąca: Funkcja, która dla $x_1 < x_2$ przyjmuje wartości $f(x_1) > f(x_2)$. Na wykresie funkcja "idzie w dół" od lewej do prawej.
• Funkcja stała: Funkcja, która dla wszystkich argumentów przyjmuje tę samą wartość, $f(x) = c$. Na wykresie funkcja jest linią poziomą.
• Wartość maksymalna/minimalna: Największa/najmniejsza wartość, jaką funkcja przyjmuje na danym przedziale. Na wykresie odpowiada najwyższemu/najniższemu punktowi wykresu na tym przedziale.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $y = f(x)$. Odczytaj: a) Wartość funkcji dla $x = -3$. b) Wartość funkcji dla $x = 1$. c) Argumenty, dla których $f(x) = 2$. d) Miejsca zerowe funkcji. e) Dziedzinę funkcji. f) Zbiór wartości funkcji.

      ^ y
      |     .
    3 +    / \
      |   /   \
    2 +--*-----*--
      | /       \
    1 +/         \
      |           \
--+---+-----------+---+---> x
 -4  -3  -2  -1   0   1   2
      |
   -1 +
      |

Krok 1. Aby odczytać wartość funkcji dla $x = -3$, znajdujemy na osi $Ox$ punkt o współrzędnej $-3$. Następnie przesuwamy się pionowo w górę lub w dół do przecięcia z wykresem. Punkt przecięcia to $(-3, 1)$. Odczytujemy współrzędną $y$ tego punktu. Krok 2. Wartość funkcji dla $x = -3$ to $f(-3) = 1$. Krok 3. Aby odczytać wartość funkcji dla $x = 1$, postępujemy analogicznie. Znajdujemy $x = 1$ na osi $Ox$. Przesuwamy się pionowo do wykresu, trafiając na punkt $(1, 2)$. Wartość funkcji to $f(1) = 2$. Krok 4. Aby znaleźć argumenty, dla których $f(x) = 2$, znajdujemy na osi $Oy$ wartość $y = 2$. Następnie przesuwamy się poziomo do przecięcia z wykresem. Punkty przecięcia to $(-2, 2)$ i $(1, 2)$. Odczytujemy ich współrzędne $x$. Krok 5. Argumenty, dla których $f(x) = 2$, to $x = -2$ oraz $x = 1$. Krok 6. Miejsca zerowe to punkty, gdzie wykres przecina oś $Ox$ (gdzie $y = 0$). Na wykresie widzimy, że wykres przecina oś $Ox$ w punkcie $(-4, 0)$. Krok 7. Miejscem zerowym jest $x = -4$. Krok 8. Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich możliwych wartości $x$. Z wykresu widać, że funkcja jest określona dla $x$ od $-4$ do $2$. Zapisujemy to jako przedział $D = \langle -4, 2 \rangle$. Krok 9. Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich możliwych wartości $y$. Najniższa wartość na wykresie to $-1$ (w punkcie $(0, -1)$), a najwyższa to $3$ (w wierzchołku paraboli $\approx (-3, 3)$). Zapisujemy to jako przedział $ZW = \langle -1, 3 \rangle$.

Sprawdzenie: a) $f(-3) = 1$. Na wykresie punkt $(-3, 1)$ jest. b) $f(1) = 2$. Na wykresie punkt $(1, 2)$ jest. c) $f(x) = 2$ dla $x = -2$ i $x = 1$. Na wykresie punkty $(-2, 2)$ i $(1, 2)$ są. d) Miejsce zerowe $x = -4$. Na wykresie punkt $(-4, 0)$ jest. e) Dziedzina $\langle -4, 2 \rangle$. Wykres rozciąga się od $x = -4$ do $x = 2$. f) Zbiór wartości $\langle -1, 3 \rangle$. Najniższy punkt ma $y = -1$, najwyższy $y = 3$.

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $y = f(x)$. Odczytaj z wykresu: a) Dziedzinę funkcji. b) Zbiór wartości funkcji. c) Przedziały, w których funkcja jest malejąca. d) Wartość najmniejszą i największą funkcji na przedziale $\langle -2, 1 \rangle$.

      ^ y
      |
    4 +       .
      |      / \
    3 +     /   \
      |    /     \
    2 +---*-------*---
      |  /         \
    1 +-/           \
      |/             \
--+---+---------------+---> x
 -4  -3  -2  -1   0   1   2
      |             .
   -1 +            /
      |           /
   -2 +----------*
      |

Krok 1. Dziedzina funkcji to zbiór wszystkich $x$, dla których wykres istnieje. Wykres zaczyna się w punkcie $(-4, 4)$ i kończy w punkcie $(2, -2)$. Zatem dziedzina to $D = \langle -4, 2 \rangle$. Krok 2. Zbiór wartości funkcji to zbiór wszystkich $y$, jakie funkcja przyjmuje. Najwyższy punkt na wykresie to $(-4, 4)$, a najniższy to $(2, -2)$. Zatem zbiór wartości to $ZW = \langle -2, 4 \rangle$. Krok 3. Aby określić przedziały, w których funkcja jest malejąca, obserwujemy wykres od lewej do prawej. Funkcja maleje, gdy jej wykres "idzie w dół". Na wykresie widać, że funkcja maleje od punktu $(-4, 4)$ do punktu $(-2, 2)$, następnie od punktu $(-2, 2)$ do punktu $(1, -1)$ i od punktu $(1, -1)$ do punktu $(2, -2)$. Krok 4. Zatem funkcja jest malejąca na przedziałach $\langle -4, -2 \rangle$, $\langle -2, 1 \rangle$ i $\langle 1, 2 \rangle$. Możemy połączyć te przedziały, ponieważ funkcja jest ciągła w punktach $-2$ i $1$. Łączny przedział, gdzie funkcja jest malejąca, to $\langle -4, 2 \rangle$. W tym przypadku funkcja jest stale malejąca na całej swojej dziedzinie. Krok 5. Aby znaleźć wartość najmniejszą i największą funkcji na przedziale $\langle -2, 1 \rangle$, szukamy najwyższego i najniższego punktu wykresu w tym konkretnym zakresie $x$. Na przedziale $\langle -2, 1 \rangle$:

• Najwyższym punktem jest $(-2, 2)$, więc wartość największa na tym przedziale to $2$.
• Najniższym punktem jest $(1, -1)$, więc wartość najmniejsza na tym przedziale to $-1$.

Sprawdzenie: a) Dziedzina $\langle -4, 2 \rangle$. Wykres rozciąga się od $x=-4$ do $x=2$. b) Zbiór wartości $\langle -2, 4 \rangle$. Najniższa $y$ to $-2$, najwyższa $y$ to $4$. c) Funkcja jest malejąca na całym przedziale $\langle -4, 2 \rangle$. Wykres systematycznie opada. d) Na przedziale $\langle -2, 1 \rangle$, najwyższy punkt to $(-2, 2)$, najniższy to $(1, -1)$. Wartość największa to $2$, najmniejsza to $-1$.

Na rysunku poniżej znajduje się fragment wykresu pewnej funkcji $f$. Które z poniższych zdań jest prawdziwe? I. Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\langle -3, 0 \rangle$. II. $f(1) = -2$. III. Miejscem zerowym funkcji jest $x = -2$.

      ^ y
      |
    2 + . . .
      | .   .
    1 + . . .
      | . . .
--+---+-------+-+---> x
 -4  -3  -2  -1 0 1
      | . . .
   -1 + . . .
      | .   .
   -2 + . . *
      |

Krok 1. Analizujemy zdanie I: "Funkcja $f$ jest malejąca w przedziale $\langle -3, 0 \rangle$". Patrzymy na wykres w zakresie $x$ od $-3$ do $0$. Od punktu $(-3, 1)$ do punktu $(0, -1)$ wykres wyraźnie opada. Oznacza to, że funkcja jest malejąca na tym przedziale. Zdanie I jest prawdziwe. Krok 2. Analizujemy zdanie II: "$f(1) = -2$". Szukamy na wykresie punktu, w którym $x=1$. Punkt $(1, -2)$ jest zaznaczony na wykresie. Oznacza to, że $f(1) = -2$. Zdanie II jest prawdziwe. Krok 3. Analizujemy zdanie III: "Miejscem zerowym funkcji jest $x = -2$". Miejscem zerowym jest wartość $x$, dla której $f(x) = 0$. Oznacza to, że wykres funkcji musi przecinać oś $Ox$ w punkcie $x = -2$. Na wykresie widzimy, że w punkcie $x = -2$ wartość funkcji wynosi $y = -1$, czyli $f(-2) = -1$. Wykres przecina oś $Ox$ w punkcie $x = -1$, zatem jedynym miejscem zerowym (widocznym na fragmencie wykresu) jest $x = -1$. Zdanie III jest fałszywe. Krok 4. Podsumowujemy wyniki. Prawdziwe są zdania I i II.

Na egzaminie należałoby wybrać opcję zawierającą zdania I i II.

• Mylenie osi $Ox$ i $Oy$: Przy odczytywaniu wartości $f(x)$ dla danego $x$, łatwo pomylić ruch pionowy z poziomym lub szukać punktu na niewłaściwej osi. Zawsze zaczynaj od osi $Ox$ dla argumentu $x$, a następnie szukaj wartości $y$ na osi $Oy$.
• Błędne określanie przedziałów monotoniczności: Należy pamiętać, że analizujemy kierunek wykresu od lewej do prawej. Funkcja rośnie, gdy "idziemy w górę", a maleje, gdy "idziemy w dół".
• Nieczytanie dziedziny i zbioru wartości z odpowiednich osi: Dziedzinę zawsze odczytujemy z osi $Ox$, a zbiór wartości z osi $Oy$. Należy uwzględnić wszystkie punkty należące do wykresu.
• Niedopisywanie nawiasów w przedziałach: Wykresy funkcji często mają zaznaczone punkty końcowe. Należy zwrócić uwagę, czy punkty te należą do wykresu (zamalowane kółko, gruba linia) czy nie (niezamalowane kółko). Odpowiednio stosujemy nawiasy okrągłe (przedział otwarty) lub kwadratowe (przedział domknięty). W zadaniach z CKE zazwyczaj punkty końcowe należą do wykresu, chyba że zaznaczono inaczej.
• Błędne interpretowanie miejsc zerowych: Miejsca zerowe to wartości $x$, gdzie wykres przecina oś $Ox$. Nie są to punkty przecięcia z osią $Oy$ ani wartości $y$ dla innych punktów.

1. Na rysunku poniżej przedstawiono wykres funkcji $y = f(x)$. Odczytaj: a) $f(-4)$ i $f(2)$. b) Rozwiązania równania $f(x) = 3$. c) Miejsca zerowe funkcji. d) Dziedzinę i zbiór wartości funkcji.

         ^ y
         |   .
       3 +  / \
         | /   \
       2 +*-----\----*
         |       \   .
       1 +        \ .
         |         \.
   ------+---------+-----> x
    -4  -3  -2  -1  0  1  2
         |           .
      -1 +          .
         |         .
      -2 +--------*
         |
   

2. Wykres funkcji $g$ przedstawiono na rysunku. Odczytaj: a) $g(-1)$ i $g(3)$. b) Argumenty, dla których $g(x) = 1$. c) Dziedzinę i zbiór wartości funkcji $g$.

         ^ y
         |
       3 +   .
         |  /
       2 +-/-----*
         |/     /
       1 *-----/---*
         |    /   /
   ------+---*---+-----> x
    -4  -3  -2  -1  0  1  2  3
         |
      -1 +
         |
   

3. Na podstawie wykresu funkcji $h$ określ, w jakich przedziałach funkcja jest rosnąca, a w jakich malejąca.

         ^ y
         |   .
       3 +  / \
         | /   \
       2 +*-----\----*
         |       \   .
       1 +        \ .
         |         \.
   ------+---------+-----> x
    -4  -3  -2  -1  0  1  2
         |           .
      -1 +          .
         |         .
      -2 +--------*
         |
   

4. Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $y = f(x)$. Odczytaj wartość największą i najmniejszą funkcji na przedziale $\langle -1, 2 \rangle$.

         ^ y
         |   .
       3 +  / \
         | /   \
       2 +*-----\----*
         |       \   .
       1 +        \ .
         |         \.
   ------+---------+-----> x
    -4  -3  -2  -1  0  1  2
         |           .
      -1 +          .
         |         .
      -2 +--------*
         |
   

5. Które z poniższych zdań jest prawdziwe dla funkcji $f$ przedstawionej na wykresie? I. $f(0) = 1$ II. Funkcja jest rosnąca w przedziale $\langle -4, -1 \rangle$. III. Największa wartość funkcji na przedziale $\langle 0, 2 \rangle$ wynosi $2$.

         ^ y
         |   .
       3 +  / \
         | /   \
       2 +*-----\----*
         |       \   .
       1 +        \ .
         |         \.
   ------+---------+-----> x
    -4  -3  -2  -1  0  1  2
         |           .
      -1 +          .
         |         .
      -2 +--------*
         |
   

6. Na rysunku poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji $f$. Określ, które z poniższych zdań jest prawdziwe. I. Funkcja $f$ ma dokładnie jedno miejsce zerowe $x=-3$. II. $f(-1) = -1$. III. Funkcja jest malejąca w przedziale $\langle -3, 0 \rangle$.

         ^ y
         |
       2 +   .
         |  / \
       1 +-/---\-*
         |/     \.
   ------+-------+---> x
    -4  -3  -2  -1  0
         |   .
      -1 +--*
         |
   

1. Jak odczytać wartość $f(x)$ z wykresu dla danego $x$?
2. Jak znaleźć argument $x$, dla którego $f(x)$ przyjmuje daną wartość?
3. Gdzie na wykresie znajdują się miejsca zerowe funkcji?
4. Z której osi odczytujemy dziedzinę funkcji? A zbiór wartości?
5. Jak na wykresie rozpoznać, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca?

      ^ y
      |
      |   . <- Punkt (x, f(x))
      |  /|\
      | / | \
----+-*--+--*------> x
      | |  |
      | |  | <- Znajdź x na osi X, idź pionowo do wykresu, odczytaj y
      | |
      | | <- Znajdź y na osi Y, idź poziomo do wykresu, odczytaj x