Tw. Pitagorasa i podobieństwo

Twierdzenie Pitagorasa oraz własności trójkątów podobnych pojawiają się na maturze podstawowej regularnie, zarówno jako samodzielne zadania, jak i elementy zadań złożonych, często w kontekście geometrii płaskiej (planimetrii). Zadania te zazwyczaj warte są od 2 do 4 punktów, a ich rozwiązanie wymaga poprawnego zastosowania wzorów i logicznego rozumowania. CKE lubi sprawdzać umiejętność wyznaczania brakujących boków w trójkątach prostokątnych oraz stosowania skali podobieństwa.

Po przerobieniu tej lekcji będziesz potrafił/a:

1. Stosować twierdzenie Pitagorasa do obliczania długości boków w trójkątach prostokątnych.
2. Rozpoznawać trójkąty pitagorejskie i wykorzystywać ich własności.
3. Obliczać pola i obwody trójkątów prostokątnych, znając tylko niektóre boki.
4. Definiować trójkąty podobne i wymieniać warunki ich podobieństwa.
5. Wykorzystywać cechy podobieństwa trójkątów (BBB, BKB, KBKB) do dowodzenia ich podobieństwa.
6. Stosować skalę podobieństwa do obliczania odpowiadających sobie boków, wysokości, median, dwusiecznych i promieni okręgów wpisanych/opisanych.
7. Obliczać pola i obwody figur podobnych.
8. Rozwiązywać zadania tekstowe i geometryczne z wykorzystaniem twierdzenia Pitagorasa i podobieństwa trójkątów.

• Twierdzenie Pitagorasa: W trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej.

  • Jeśli $a$ i $b$ są długościami przyprostokątnych, a $c$ jest długością przeciwprostokątnej, to: $a^2 + b^2 = c^2$

• Trójkąt prostokątny: Trójkąt, w którym jeden z kątów ma miarę $90^\circ$. Boki przylegające do kąta prostego to przyprostokątne, a bok leżący naprzeciwko kąta prostego to przeciwprostokątna.

• Trójkąty pitagorejskie: Trójki liczb naturalnych $(a, b, c)$, które spełniają równanie $a^2 + b^2 = c^2$. Najpopularniejsze to:

  • (3, 4, 5): $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$
  • (5, 12, 13): $5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2$
  • (8, 15, 17): $8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2$
  • (7, 24, 25): $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625 = 25^2$

• Podobieństwo trójkątów: Dwa trójkąty są podobne, jeśli ich odpowiadające kąty są równej miary, a stosunek długości odpowiadających sobie boków jest stały. Ten stały stosunek nazywamy skalą podobieństwa (oznaczamy przez $k$).

• Cechy podobieństwa trójkątów:

  • BBB (bok-bok-bok): Dwa trójkąty są podobne, jeśli stosunki długości wszystkich trzech par odpowiadających sobie boków są równe. Jeśli trójkąty $\triangle ABC$ i $\triangle A'B'C'$ mają boki odpowiednio $a, b, c$ i $a', b', c'$, a zachodzi warunek: $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = k$ to trójkąty te są podobne, a $k$ jest skalą podobieństwa.
  • BKB (bok-kąt-bok): Dwa trójkąty są podobne, jeśli stosunek długości dwóch par odpowiadających sobie boków jest równy, a kąty zawarte między tymi bokami są równej miary. Jeśli w trójkątach $\triangle ABC$ i $\triangle A'B'C'$ mamy: $\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \quad \text{oraz} \quad \gamma = \gamma'$ gdzie $\gamma$ i $\gamma'$ to kąty między bokami $a, b$ i $a', b'$ odpowiednio, to trójkąty są podobne.
  • KBKB (kąt-bok-bok): Dwa trójkąty są podobne, jeśli miary dwóch odpowiadających sobie kątów są równe. (Jest to najczęściej używana cecha, ponieważ suma kątów w trójkącie to $180^\circ$, więc jeśli dwa kąty są równe, to trzecie też muszą być równe). Jeśli w trójkątach $\triangle ABC$ i $\triangle A'B'C'$ mamy: $\alpha = \alpha' \quad \text{oraz} \quad \beta = \beta'$ gdzie $\alpha, \alpha'$ i $\beta, \beta'$ to pary odpowiadających sobie kątów, to trójkąty są podobne.

• Skala podobieństwa (k): Stosunek długości odpowiadających sobie boków dwóch podobnych figur.

  • Jeśli $k > 1$, figura $A'B'C'$ jest powiększeniem figury $ABC$.
  • Jeśli $0 < k < 1$, figura $A'B'C'$ jest pomniejszeniem figury $ABC$.
  • Jeśli $k = 1$, figury są przystające.

• Wzory dotyczące pól i obwodów figur podobnych:

  • Jeśli figury $F$ i $F'$ są podobne w skali $k$, to stosunek ich obwodów wynosi $k$: $\frac{Obw(F')}{Obw(F)} = k$
  • Stosunek ich pól wynosi $k^2$: $\frac{Pole(F')}{Pole(F)} = k^2$

Oblicz brakującą przyprostokątną w trójkącie prostokątnym, jeśli jedna przyprostokątna ma długość 6 cm, a przeciwprostokątna 10 cm.

Krok 1. Zidentyfikuj dane i szukaną. Dane: przyprostokątna $a = 6$ cm, przeciwprostokątna $c = 10$ cm. Szukana: przyprostokątna $b$.

Krok 2. Zastosuj twierdzenie Pitagorasa. W trójkącie prostokątnym zachodzi równość: $a^2 + b^2 = c^2$.

Krok 3. Podstaw dane do wzoru. $6^2 + b^2 = 10^2$

Krok 4. Rozwiąż równanie, aby wyznaczyć $b$. $36 + b^2 = 100$ $b^2 = 100 - 36$ $b^2 = 64$ $b = \sqrt{64}$ $b = 8$ cm (długość boku musi być dodatnia)

Krok 5. Sprawdzenie. Czy $6^2 + 8^2 = 10^2$? $36 + 64 = 100$ $100 = 100$ Równość jest spełniona.

Odpowiedź: Brakująca przyprostokątna ma długość 8 cm.

Dwa trójkąty są podobne. Pierwszy trójkąt ma boki o długościach 5 cm, 12 cm i 13 cm. Drugi trójkąt ma najkrótszy bok o długości 15 cm. Oblicz obwód drugiego trójkąta.

Krok 1. Zidentyfikuj dane i szukaną. Dane: Trójkąt 1: boki $a_1=5$, $b_1=12$, $c_1=13$. Trójkąt 2: najkrótszy bok $a_2 = 15$ cm. Trójkąty są podobne. Szukana: Obwód drugiego trójkąta ($Obw_2$).

Krok 2. Określ skalę podobieństwa. Najkrótszy bok pierwszego trójkąta to 5 cm. Najkrótszy bok drugiego trójkąta to 15 cm. Ponieważ trójkąty są podobne, stosunek odpowiadających sobie boków jest stały i równy skali podobieństwa $k$. Skala podobieństwa $k$ jest stosunkiem boku z drugiego trójkąta do odpowiadającego mu boku z pierwszego trójkąta. $k = \frac{a_2}{a_1} = \frac{15 \text{ cm}}{5 \text{ cm}} = 3$.

Krok 3. Oblicz obwód pierwszego trójkąta. $Obw_1 = a_1 + b_1 + c_1 = 5 + 12 + 13 = 30$ cm.

Krok 4. Oblicz obwód drugiego trójkąta, korzystając ze skali podobieństwa. Stosunek obwodów figur podobnych jest równy skali podobieństwa: $\frac{Obw_2}{Obw_1} = k$ $Obw_2 = k \cdot Obw_1$ $Obw_2 = 3 \cdot 30 \text{ cm} = 90 \text{ cm}$.

Alternatywna metoda: Można też najpierw obliczyć boki drugiego trójkąta: $a_2 = k \cdot a_1 = 3 \cdot 5 = 15$ cm (co było dane) $b_2 = k \cdot b_1 = 3 \cdot 12 = 36$ cm $c_2 = k \cdot c_1 = 3 \cdot 13 = 39$ cm Obwód drugiego trójkąta: $Obw_2 = a_2 + b_2 + c_2 = 15 + 36 + 39 = 90$ cm.

Sprawdzenie: Oba sposoby dają ten sam wynik.

Odpowiedź: Obwód drugiego trójkąta wynosi 90 cm.

W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość 8, a przeciwprostokątna ma długość 10. Jaka jest długość drugiej przyprostokątnej? A) 2 B) 6 C) $\sqrt{164}$ D) $\sqrt{2}$

Krok 1. Zastosuj twierdzenie Pitagorasa. Niech $a=8$, $c=10$. Szukamy $b$. $a^2 + b^2 = c^2$ $8^2 + b^2 = 10^2$

Krok 2. Rozwiąż równanie. $64 + b^2 = 100$ $b^2 = 100 - 64$ $b^2 = 36$ $b = \sqrt{36}$ $b = 6$

Krok 3. Wybierz poprawną odpowiedź. Odpowiedź B jest poprawna.

Odpowiedź: B

• Mylenie przyprostokątnej z przeciwprostokątną: Zawsze upewnij się, która jest która. Przeciwprostokątna jest najdłuższym bokiem i leży naprzeciwko kąta prostego. Wzór Pitagorasa to $a^2 + b^2 = c^2$, gdzie $c$ to przeciwprostokątna.
• Zapominanie o pierwiastkowaniu: Po obliczeniu $b^2$, pamiętaj, aby wyciągnąć pierwiastek, aby uzyskać długość boku $b$.
• Błędy w obliczeniach: Szczególną ostrożność zachowaj przy podnoszeniu do kwadratu i odejmowaniu. Ułamki i pierwiastki w obliczeniach Pitagorasa mogą prowadzić do błędów.
• Błędne przyporządkowanie boków w podobieństwie: Upewnij się, że porównujesz odpowiadające sobie boki. Najkrótszy bok z jednego trójkąta powinien być porównywany z najkrótszym bokiem z drugiego, środkowy ze środkowym itd.
• Mylenie skali podobieństwa ($k$) ze stosunkiem pól ($k^2$): Pamiętaj, że stosunek pól figur podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa.

1. Oblicz długość przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątne mają długości 9 cm i 12 cm.
2. W trójkącie prostokątnym jedna przyprostokątna ma długość $\sqrt{21}$ cm, a przeciwprostokątna 5 cm. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej.
3. Trójkąt prostokątny ma boki o długościach 6 cm, 8 cm i 10 cm. Oblicz jego pole i obwód.
4. Dwa trójkąty są podobne. Pierwszy trójkąt ma boki o długościach 10, 24, 26. Drugi trójkąt ma obwód równy 180. Oblicz długości boków drugiego trójkąta.
5. Trójkąt $\triangle ABC$ ma boki $AB=12$, $BC=15$, $AC=9$. Trójkąt $\triangle A'B'C'$ jest podobny do $\triangle ABC$ w skali $k=2$. Oblicz obwód i pole trójkąta $\triangle A'B'C'$.
6. Wykaż, że trójkąt o bokach długości 7, $\sqrt{15}$, 8 jest trójkątem prostokątnym.
7. Wysokość $h$ w trójkącie prostokątnym poprowadzona z wierzchołka kąta prostego na przeciwprostokątną dzieli ją na odcinki o długościach $p=3$ cm i $q=12$ cm. Oblicz długości przyprostokątnych tego trójkąta.

1. Jakie są boki trójkąta prostokątnego w twierdzeniu Pitagorasa?
2. Podaj najmniejszy trójkąt pitagorejski.
3. Podaj warunek podobieństwa trójkątów na podstawie dwóch kątów.
4. Jaki jest stosunek pól dwóch figur podobnych, jeśli skala podobieństwa wynosi 3?
5. Jeśli dwa trójkąty są podobne, to czy ich kąty są równe, czy boki są proporcjonalne?

      /|
     / |
    /  | a
   /   |
  /____|
     b

(Trójkąt prostokątny, gdzie $a$ i $b$ to przyprostokątne, a przeciwprostokątna jest ukośnym bokiem)