Zbiory i przedziały

Zbiory i przedziały są używane w zadaniach CKE do zapisu rozwiązań nierówności, dziedziny i zbioru wartości funkcji. Trzeba rozpoznawać nawiasy otwarte i domknięte, zaznaczać przedziały na osi oraz obliczać sumę i część wspólną. Ten temat porządkuje zapis, który pojawia się także w zadaniach o funkcjach i wartości bezwzględnej.

1. Rozróżnisz przedziały otwarte, domknięte i jednostronnie domknięte.
2. Odczytasz przedział z osi liczbowej.
3. Obliczysz sumę, część wspólną i różnicę przedziałów.
4. Zapiszesz rozwiązanie nierówności w poprawnej notacji.
5. Sprawdzisz, czy końce należą do zbioru.

Przedział domknięty $[a,b]$ zawiera oba końce: $a\le x\le b$. Przedział otwarty $(a,b)$ nie zawiera końców: $a<x<b$. W przedziałach mieszanych nawias okrągły oznacza wyłączenie końca, a kwadratowy — jego włączenie.

Suma zbiorów $A\cup B$ zawiera elementy należące do $A$ lub do $B$. Część wspólna $A\cap B$ zawiera elementy należące jednocześnie do obu zbiorów. Przy zapisie nieskończoności zawsze używa się nawiasu okrągłego, np. $(-\infty,4]$.

Na osi liczbowej pełne kółko oznacza koniec należący do zbioru, a puste kółko — koniec wyłączony. Zanim wykonasz działanie, zaznacz oba przedziały na jednej osi.

Wyznacz $[-3,5]\cap[1,8]$. Wspólny fragment zaczyna się w większym z lewych końców, czyli w $1$, i kończy w mniejszym z prawych końców, czyli w $5$. Oba końce są domknięte, więc wynik to $[1,5]$. Dla sumy tych przedziałów otrzymalibyśmy $[-3,8]$.

Rozwiąż nierówność $-2\le 3x+1<7$ i zapisz zbiór rozwiązań. Odejmujemy $1$: $-3\le3x<6$. Dzielimy przez dodatnie $3$: $-1\le x<2$. Lewy koniec należy do zbioru, prawy nie, zatem rozwiązaniem jest $[-1,2)$.

• Nie zamieniaj nawiasu okrągłego na kwadratowy tylko dlatego, że liczba jest widoczna na osi.
• Przy dzieleniu nierówności przez liczbę ujemną zmień zwrot nierówności.
• Suma rozłącznych przedziałów wymaga znaku $\cup$, a nie jednego przedziału obejmującego przerwę.
• Przy nieskończoności nie wolno używać nawiasu kwadratowego.
• W części wspólnej wybierz większy lewy koniec i mniejszy prawy koniec.

1. Oblicz $[-4,3)\cap(1,7]$.
2. Oblicz $(-\infty,2]\cup[5,\infty)$.
3. Zapisz w postaci przedziału zbiór $-5<x\le 2$.
4. Rozwiąż $4x-3\ge 9$.
5. Na osi zaznacz $(-2,4]$ i wypisz, czy $-2$ oraz $4$ należą do zbioru.
6. Wyznacz różnicę $[0,6]\setminus(2,4]$.

1. Co oznaczają nawiasy okrągły i kwadratowy?
2. Jak wyznaczyć lewy i prawy koniec części wspólnej?
3. Dlaczego przy nieskończoności zawsze jest nawias okrągły?
4. Kiedy używamy znaku $\cup$?
5. Jak zmienia się znak nierówności przy dzieleniu przez liczbę ujemną?

nierówność → przekształcenie
       ↓
  końce przedziału
   ↙          ↘
  otwarty     domknięty
       ↓
  oś liczbowa
       ↓
  suma / część wspólna